Problema Esercizio su Equazione differenziale lineare
Salve, non riesco a risolvere gli ultimi due punti di questo esercizio (i due punti più semplici per lo più). Vi mostro comunque il procedimento degli altri punti, non avendo risultati spero di aver fatto tutto in maniera corretta.
Si consideri l'equazione differenziale lineare (*) $ y'=sqrt(x) (y-1) $ per $ x>0 $. Scrivere:
(a) L'equazione omogenea associata e tutte le sue soluzioni.
(b) Una soluzione costante di (*)
(c) La formula di tutte le soluzioni di (*)
(d) La soluzione di (*) tale che $ y(1)=1 $
(e) Il più grande intervallo di definizione della soluzione in (d).
Questo è il procedimento che ho seguito:
(a) Riscrivo $ y'=sqrt(x) (y-1) $ come $ y'= y sqrt(x) -sqrt(x) $ e da qui trovo l'equazione omogenea associata $ y'= y sqrt(x) $.
Per la soluzione dell'omogenea associata uso la seguente formula: $y(t)=ce^(A(t)) $ dove $A(t)$ è la primitiva.
Ovvero: $ A(t)= int sqrt(x)dx = int x^(1/2)dx = 2/3x^(3/2) $. Andando a sostituire nella formula ottengo: $ y(x)=ce^(2/3x^(3/2))$ con $ c in R $.
(b) Per trovare una soluzione costante pongo $sqrt(x) (y-1)=0$ quindi $y sqrt(x) -sqrt(x)=0$ e da qui trovo che $ y(x)=1 $ e questa è la mia soluzione costante.
(c) Facile trovare tutte le soluzioni, ovvero: $y(x)=ce^(2/3x^(3/2))+1$ con $ c in R $.
Per quanto riguarda il punto (d) non sono saprei come comportarmi, devo sostituire il valore 1 al posto della x ? Spero almeno che i punti precedenti siano eseguiti correttamente, in attesa di un vostro aiuto
Grazie in anticipo
Si consideri l'equazione differenziale lineare (*) $ y'=sqrt(x) (y-1) $ per $ x>0 $. Scrivere:
(a) L'equazione omogenea associata e tutte le sue soluzioni.
(b) Una soluzione costante di (*)
(c) La formula di tutte le soluzioni di (*)
(d) La soluzione di (*) tale che $ y(1)=1 $
(e) Il più grande intervallo di definizione della soluzione in (d).
Questo è il procedimento che ho seguito:
(a) Riscrivo $ y'=sqrt(x) (y-1) $ come $ y'= y sqrt(x) -sqrt(x) $ e da qui trovo l'equazione omogenea associata $ y'= y sqrt(x) $.
Per la soluzione dell'omogenea associata uso la seguente formula: $y(t)=ce^(A(t)) $ dove $A(t)$ è la primitiva.
Ovvero: $ A(t)= int sqrt(x)dx = int x^(1/2)dx = 2/3x^(3/2) $. Andando a sostituire nella formula ottengo: $ y(x)=ce^(2/3x^(3/2))$ con $ c in R $.
(b) Per trovare una soluzione costante pongo $sqrt(x) (y-1)=0$ quindi $y sqrt(x) -sqrt(x)=0$ e da qui trovo che $ y(x)=1 $ e questa è la mia soluzione costante.
(c) Facile trovare tutte le soluzioni, ovvero: $y(x)=ce^(2/3x^(3/2))+1$ con $ c in R $.
Per quanto riguarda il punto (d) non sono saprei come comportarmi, devo sostituire il valore 1 al posto della x ? Spero almeno che i punti precedenti siano eseguiti correttamente, in attesa di un vostro aiuto
Grazie in anticipo
Risposte
Nessuno sa come aiutarmi?? 
I conti fatti sembrano giusti.
Il punto (d) è banalissimo, non c’è bisogno di fare nulla... Hai già tutto quello che ti serve dalla teoria e dai punti precedenti.
P.S.: Evita di uppare un thread prima di 24 ore (cfr. Regolamento). Grazie.
Il punto (d) è banalissimo, non c’è bisogno di fare nulla... Hai già tutto quello che ti serve dalla teoria e dai punti precedenti.
P.S.: Evita di uppare un thread prima di 24 ore (cfr. Regolamento). Grazie.
Sarebbe la soluzione costante??
Grazie per la risposta.
ps. chiedo scusa per aver ripostato.
Grazie per la risposta.
ps. chiedo scusa per aver ripostato.
"UniAnalisi":
Sarebbe la soluzione costante??
Certo.
Un problema di Cauchy relativo ad una EDO lineare ha sempre unica soluzione. Una (quella costante) già l’hai trovata, dunque...
"UniAnalisi":
Grazie per la risposta.
Prego.
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