Problema equazione differenziale non lineare..
Salve ragazzi,
come da oggetto c'è un esercizio che mi dà il tormento: si tratta del Problema di Cauchy
[tex]y'= \frac{\pi}{x^2} cos(xy)[/tex]
con condizione iniziale [tex]y(1)=\pi[/tex]
Il problema chiaramente è risolvere l'eq.diff., che non è lineare. Ho fatto la seguente sostituzione, la più logica che mi viene in mente: [tex]xy=z[/tex], da cui segue [tex]y= \frac{z}{x}[/tex] e quindi [tex]y'= \frac{z'}{x} - \frac{z}{x^2}[/tex], ottenendo:
[tex]\frac{z'}{x} - \frac{z}{x^2} = \frac{\pi}{x^2} cos(z)[/tex]
Moltiplicando tutto per [tex]x[/tex] e arrangiando si perviene a: [tex]z'=\frac{z+ \pi cos(z)}{x}[/tex]. Separando le variabili, avrò:
[tex]\frac{z'}{z+ \pi cos(z)}=\frac{1}{x}[/tex]
L'integrale a primo membro non riesco a risolverlo, avete qualche suggerimento da darmi? Con le sostituzioni canoniche non arrivo da nessuna parte perchè non riesco a ricondurmi ad un integrale di funzione fratta per via della presenza di z.
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi un suggerimento..
come da oggetto c'è un esercizio che mi dà il tormento: si tratta del Problema di Cauchy
[tex]y'= \frac{\pi}{x^2} cos(xy)[/tex]
con condizione iniziale [tex]y(1)=\pi[/tex]
Il problema chiaramente è risolvere l'eq.diff., che non è lineare. Ho fatto la seguente sostituzione, la più logica che mi viene in mente: [tex]xy=z[/tex], da cui segue [tex]y= \frac{z}{x}[/tex] e quindi [tex]y'= \frac{z'}{x} - \frac{z}{x^2}[/tex], ottenendo:
[tex]\frac{z'}{x} - \frac{z}{x^2} = \frac{\pi}{x^2} cos(z)[/tex]
Moltiplicando tutto per [tex]x[/tex] e arrangiando si perviene a: [tex]z'=\frac{z+ \pi cos(z)}{x}[/tex]. Separando le variabili, avrò:
[tex]\frac{z'}{z+ \pi cos(z)}=\frac{1}{x}[/tex]
L'integrale a primo membro non riesco a risolverlo, avete qualche suggerimento da darmi? Con le sostituzioni canoniche non arrivo da nessuna parte perchè non riesco a ricondurmi ad un integrale di funzione fratta per via della presenza di z.
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi un suggerimento..
Risposte
In effetti quell'integrale è un po' ostico. A me viene in mente di procedere usando una soluzione in "serie", ma non so se conosci l'argomento.
No, effettivamente questa procedura non la conosco. Il mio dubbio è se magari c'è qualche modo alternativo di arrivare ad una soluzione del problema senza passare da un integrale del genere, solo che non mi viene in mente nulla di valido..
Sinceramente quello che hai fatto mi sembra l'unica cosa "sensata" da fare per approcciare l'equazione se non si vuole passare per vie più complesse. Se mi dai un po' di tempo, penso sia a come risolvere quell'integrale sia a risolvere l'equazione come ti suggerivo, e vedo di capire se c'è qualche inghippo di mezzo.
Guarda, ti ringrazio davvero. Chiaramente, essendo questo un favore che molto gentilmente mi stai facendo, la risposta me la puoi dare anche tra 10 giorni 
Continuerò a lavorarci su anche io, poi ci aggiorniamo allora..thanks
Continuerò a lavorarci su anche io, poi ci aggiorniamo allora..thanks
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