Problema equazione differenziale.

[MILITO1991]

Salve ragazzi, nello studio dell'equazioni differenziali mi sono imbattuto in un problema in un esercizio.
Assegnata la funzione:
$f(x)= 1-x^2$ se $-1<=x<=1$ altrimenti f(x)=0.
Determinare l'integrale generale dell'equazione $y'=f(x)$.Ho risolto così con una certe sicurezza:
Dunque $y=c$ se f(x)=0 e $y=x-x^3/3$ se f(x)=$1-x^2$.
Utilizzare poi tale risultato per determinare l'integrale generale dell'equazione $y''=f(x)$.Il suggerimento del mio professore è porre $y'(x)=z(x)$.Non so proprio come partire in questo caso.Potete aiutarmi?? Grazie

[Quinzio]

"MILITO1991":
Dunque $y=c$ se f(x)=0 e $y=x-x^3/3$ se f(x)=$1-x^2$.

A me sembra corretto così, se non mi sbaglio:

[tex]y = \left\{\begin{matrix}
c & x \in (-oo, -\sqrt2]\\
x-{x^3 \over 3} + c + \sqrt2 - {4\sqrt 2 \over 3} & x\in [-\sqrt2,\sqrt2]\\
c + 3 \sqrt2 - {12\sqrt 2 \over 3} & x \in [\sqrt2, +oo)
\end{matrix}\right.[/tex]

Adesso torni ad integrare di nuovo.

[Giuly191]

@Milito: ma che definizione ti hanno dato di soluzione di un'equazione differenziale?
Te lo chiedo perchè mi pare strano che la tua $f(x)$ non sia continua e di conseguenza che la tua soluzione $y$ non sia derivabile.

[MILITO1991]

in realtà le definizioni di queste cose sono state arrabbattate nell ultima lezione, e ho un plico di esercizi del mio docente, fra cui questo.Quinzio potresti spiegarmi i passaggi che hai ftt?

[Giuly191]

Quinzio ha semplicemente imposto la continuità della soluzione, che tu avevi trovato senza esplicitare correttamente.
Tieni conto però che la soluzione $y$ di Quinzio non è derivabile, è ciò è molto strano. Nella definizione classica una soluzione è derivabile.

[Quinzio]

"Giuly19":Quinzio ha semplicemente imposto la continuità della soluzione, che tu avevi trovato senza esplicitare correttamente.
Tieni conto però che la soluzione $y$ di Quinzio non è derivabile, è ciò è molto strano. Nella definizione classica una soluzione è derivabile.

Non è derivabile ?
E perchè ?

[Giuly191]

La derivata del tratto centrale non è nulla in $x=pm sqrt(2)$, mentre sugli altri due tratti la funzione è costante..

[Quinzio]

"Giuly19":La derivata del tratto centrale non è nulla in $x=pm sqrt(2)$, mentre sugli altri due tratti la funzione è costante..

Ok, viene fuori una discontinuità, proprio quello che volevo. Si comunque in senso stretto non è derivabile, ma ammette sempre derivata sx e dx finite .

[Giuly191]

"Quinzio":
Ok, viene fuori una discontinuità, proprio quello che volevo.

O.o ? Proprio quello che volevo? Una discontinuità nella derivata immagino tu intenda.

"Quinzio":Si comunque in senso stretto non è derivabile, ma ammette sempre derivata sx e dx finite .

Non mi sembra un ragionamento sensato, non è derivabile e basta. Senza l'ipotesi di continuità sulla $f$ (che implica la continuità della derivata prima e quindi la derivabilità della soluzione) non si dimostra un bel niente di tutti quei teoremi di esistenza e unicità (o meglio, non si dimostrano quelli che ho studiato), quindi di solito la prima cosa che si dice è che la soluzione di una equazione diff. di ordine 1 deve essere derivabile una volta per definizione. Per questo l'esercizio di Milito mi pare strano, non vorrei l'avesse copiato male e fosse che $f(x)=1-x^2$ quando $x in [-1,1]$, avrebbe molto più senso.

[Quinzio]

"Giuly19":[quote="Quinzio"]
non vorrei l'avesse copiato male e fosse che $f(x)=1-x^2$ quando $x in [-1,1]$, avrebbe molto più senso.

[/quote]

Può essere...

[MILITO1991]

si ragazzi scusate ho sbagliato mi scuso con tutti.