Problema equazione differenziale

[Poetrp]

Ho il seguente esercizio:

Dati a e b appartenenti a R trovare la funzione y = y(t) soluzione del problema di Cauchy

y'(t) + 2y(t) = 2 + b(e^t)
y(0) = a

Si consideri ora la soluzione del Problema con b = 0 e a > 2. Determinare il più
piccolo istante di tempo t0>= 0 (dipendente da a) per cui si verichi y(t)<= 2 per ogni t>=t0.

Sono arrivato alla soluzione del problema di Cauchy ma non so come andare avanti sulla seconda parte dell'esercizio, qualcuno potrebbe aiutarmi?

Ringrazio in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao Rit,

Benvenuto sul forum!

Mi risulta che la soluzione del PdC proposto possa scriversi nella forma seguente:

$y(t; a, b) = (a - 1) e^(-2 t) + 1 + b e^(-2 t) (e^(3 t)/3 - 1/3) $

Chiaramente se $b = 0 $ si ha:

$y(t; a, 0) = (a - 1) e^(-2 t) + 1 $

Ora se deve essere $y(t; a, 0) <= 2 $ si ha:

$ (a - 1) e^(-2 t) + 1 <= 2 \implies (a - 1) e^(-2 t) <= 1 \implies e^(-2 t) <= 1/(a -1) \implies $
$ \implies -2t <= ln(1/(a - 1)) \implies t >= -1/2 ln(1/(a - 1)) = 1/2 ln(a - 1) $

Quindi $t_0 = t_0(a) = 1/2 ln(a - 1) = ln\sqrt{a - 1} > 0 $ essendo $a > 2 $