Problema dimostrazione teorema di Bolzano Weierstrass
Ciao a tutti, come da titolo, non riesco a comprendere gli ultimi passaggi della dimostrazione del teorema, mi spiego meglio:
L'obiettivo del teorema è verificare che ogni insieme limitato e infinito ammetta estremo superiore, ora, effettuando la dimostrazione per dicotomia di un intervallo, si ottengono due successioni, la prima An che è crescente e superiormente limitata da Bo (ossia il maggiorante dell'intervallo), la seconda Bn che è decrescente e inferiormente limitata da Ao (ossia il punto fissato all'interno dell'intervallo di partenza contenuto strettamente in R e di cui si vuole provare l'esistenza dell'estremo superiore). Giunti a questo punto la dimostrazione procede dicendo che: poichè le due successioni sono limitate e crescenti/decrescenti per il 2° teorema di completezza dei numeri reali allora esse ammettono lo stesso limite. Il mio dubbio è.. ma proprio per questo teorema se An e Bn sono rispettivamente superiormente e inferiormente limitate e rispettivamente crescenti e decrescenti, non dovrebbero tendere a Bo e Ao? La loro differenza in questo caso non è nulla per "n" che tende a infinito, come invece viene dimostrato. Non riesco a capire questo passaggio nonostante ci stia riflettendo da un po'. Vi ringrazio per le eventuali risposte e per il tempo dedicato.
L'obiettivo del teorema è verificare che ogni insieme limitato e infinito ammetta estremo superiore, ora, effettuando la dimostrazione per dicotomia di un intervallo, si ottengono due successioni, la prima An che è crescente e superiormente limitata da Bo (ossia il maggiorante dell'intervallo), la seconda Bn che è decrescente e inferiormente limitata da Ao (ossia il punto fissato all'interno dell'intervallo di partenza contenuto strettamente in R e di cui si vuole provare l'esistenza dell'estremo superiore). Giunti a questo punto la dimostrazione procede dicendo che: poichè le due successioni sono limitate e crescenti/decrescenti per il 2° teorema di completezza dei numeri reali allora esse ammettono lo stesso limite. Il mio dubbio è.. ma proprio per questo teorema se An e Bn sono rispettivamente superiormente e inferiormente limitate e rispettivamente crescenti e decrescenti, non dovrebbero tendere a Bo e Ao? La loro differenza in questo caso non è nulla per "n" che tende a infinito, come invece viene dimostrato. Non riesco a capire questo passaggio nonostante ci stia riflettendo da un po'. Vi ringrazio per le eventuali risposte e per il tempo dedicato.
Risposte
Ciao Proxybar e benvenuto sul forum
ti chiedo subito di editare (tasto modifica in alto a destra) il tuo messaggio mettendo il titolo tutto in minuscolo, il maiuscolo risalta come un urlo. A risentirci.
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ok provvedo subito
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