Problema dimostrazione sommatoria(2k+1) = n^2

[MauroX1]

Dimostrare che $ (sum_ (k = 0)^(n -1 ) 2k + 1) = n^2$
Io ho fatto così ma non viene:
- Incremento k ed n di 1 e ottengo: $ (sum_ (k = 1)^(n) 2k)$
- Ho portato fuori il 2 dalla sommatoria e ho sfruttato il fatto che $ sum_ (k = 1)^(n ) k = (n(n+1))/2$
- Quindi il risultato è $n^2 + n$ che è sbagliato
Non so più dove sbattere la testa, è un pomeriggio che provo e riprovo anche attraverso altri passaggi...
Grazie anticipatamente.

[MauroX1]

Problema risolto!
Sbagliavo al primo passaggio:
- Incremento k ed n di 1 ma non sottraggo 1 a $2k + 1$, ma 2, ovvero il coefficente di k.
In alternativa si poteva raccogliore anche a fattor comune 2 in modo tale da avere 1 come coefficente di k.
Spero sia questo il motivo!

[krek1]

$ (sum_ (k = 0)^(n -1 ) 2k + 1) = n^2$


se da una parte aggiungi un termine alla somma da qualche parte lo devi togliere, dovresti riaggiungere anche il primo ma in questo caso è zero.

$ sum_ (k = 0)^(n -1 ) (2k + 1) = n+ sum_ (k = 0)^(n -1 ) 2k = n+ 2sum_ (k = 0)^(n -1) k=n + 2(0 - n +sum_ (k = 1)^(n)k) = .... $