Problema dimostrazione differenziale e teorema di Lagrange

[alex_hack]

Salve a tutti,
non riesco a dimostrare il seguente fatto:
Data una funzione vettoriale $F(x): RR^n\rightarrowRR^n$ con quindi $x$ in $RR^n$, sapendo che vale $J(x)w*w<=0$ per ogni $x$ e ogni $w$ in $RR^n$, dove con $J(x)$ ho inteso la matrice Jacobiana di $F$ nel punto $x$ e con $*$ il prodotto scalare, dimostrare che: $(F(u)-F(v))*( u-v)<=0$ comunque presi $u$ e $v$ in $RR^n $.

Avevo pensato di usare Lagrange ma purtroppo lo posso usare solo componente per componente ossia, posto $u-v=w$ e $F=(F_1,...,F_n)$ posso dire che: esistono $n$ costanti $\alpha_i$
$
(F(u)-F(v))*w = (\gradF_1(\alpha_1)*w ,..., \gradF_n(\alpha_n)*w)*w
$

Dovrei dimostrare che quest' ultima forma quadratica è definita negativa sapendo solo che

$ (\gradF_1(\alpha_i)*w ,..., \gradF_n(\alpha_i)*w)*w<=0$ per ogni scelta possibile di $\alpha_i$ essendo l'ultima affermazione equivalente alla
$
J(\alpha_i)w*w<=0
$


Qualche idea?
Grazie mille

[dissonance]

Sei sulla buona strada, ma lascia stare le componenti di \(F\). Invece, prova a riscrivere \(F(u)-F(v)=F(v+w)-F(v)\). Questo suggerisce di considerare la funzione
\[
f(t)=F(v+tw)-F(v),\quad t\in \mathbb R.\]
Abbiamo che \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R^n\) e che \(f\) è derivabile etc...

Vedi un po' se riesci a partire da qui altrimenti cerchiamo di dare qualche altro suggerimento

[alex_hack]

Grazie mille della risposta!
Allora derivando la funzione che hai scritto si vede subito che
$$
\frac{df}{dt}*w\leq0
$$
per ogni $t$ essendo
$$
\frac{df}{dt}=(\nabla F_1(v+tw)*w,...,\nabla F_n(v+tw)*w)
$$
e usando l'ipotesi.
Ora ho
$f(1) = F(u)-F(v)$
$f(0) = (0,..,0)$
per cui per Lagrange in una dimensione esiste un $\tau$ per cui
$$
F(u)-F(v)=f(1)-f(0)=f'(\tau)(1-0)=(\nabla F_1(v+\tau w)*w,...,\nabla F_n(v+\tau w)*w)
$$
con $f'(\tau)*w<=0$
Per cui posto $k = v+\tau w$ ho
$$
F(u)-F(v)=J(k)(w)
$$
e quindi concludo usando l'ipotesi.
È giusto? Grazie mille intanto

[dissonance]

È giusto

[alex_hack]

Grazie mille