Problema differenziale

[GiacoGG]

Ciao a tutti! Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema differenziale?
$ Prob{ ( y'=(cosx/y )^3,( y(pi/2)=sqrt(2) ):} $

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao Giakij97,

Si tratta di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine non lineare a variabili separabili, infatti si ha:

$ y^3 dy = cos^3 x dx $

che integrata fornisce

$y^4 = 4 int cos^3 x dx $

Per risolvere l'ultimo integrale ci sono diversi modi, uno è quello di fare uso della nota formula di ricorrenza seguente:

$ \int cos^n (ax) dx = frac{sin(ax)cos^{n - 1}(ax)}{an} + frac{n - 1}{n}\int cos^{n - 2}(ax) dx $

ove nel caso in esame $a = 1 $ e $n = 3 $, per cui si ha:

$ \int cos^3 x dx = frac{sin x cos^2 x}{3} + frac{2}{3}\int cos x dx = frac{sin x cos^2 x}{3} + frac{2}{3} sin x + c = frac{sin x (cos^2 x + 2)}{3} + c = $
$ = frac{sin x (3 - sin^2 x)}{3} + c = sin x - frac{1}{3}sin^3 x + c $

Quindi si ha:

$y(x) = root[4]{4sin x - frac{4}{3}sin^3 x + c} $

Dato che $y(\pi/2) = sqrt{2} $ si trova

$ sqrt{2} = root[4]{4sin(\pi/2) - frac{4}{3}sin^3 (\pi/2) + c} = root[4]{4 - frac{4}{3} + c} \implies 4 - frac{4}{3} + c = 4 \implies c = 4/3 $