Problema di trasmissione del calore in coordinate cilindrich
Un saluto a tutti!
Premessa: è un problema che riguarda la mia tesi di laurea, che prevede la soluzione di un problema di trasmissione del calore in coordinate cilindriche.
Ho letto le regole per postare i messaggi, e sto in mezzo tra l'essere bannato e l'essere aiutato..spero nella seconda ipotesi!!
Vi riassumo il problema annoso: ripeto, abbiamo un problema di trasmissione del calore da risolvere in coordinate cilindriche.
Il "generatore" di calore è una barra cilindrica che si puo' assumere
infinitamente lunga (L >> r), inserita in un corpo omogeneo.
Nella realtà di tutti i giorni, sono degli scambiatori di calore (sonde
geotermiche) inseriti nel terreno.
Si conoscono le condizioni iniziali (sistema a riposo), in cui la
temperatura è costante per qualsiasi valore della distanza radiale ed è pari
a 290 K.
Le condizioni al contorno sono T = 305K per r = 0 e t>0 (si assume il
cilindro con raggio infinitesimo) e T = 290K ad una certa distanza
opportuna..diciamo, 20 metri dall'asse del cilindro, e sempre t > 0.
Da quel che ho capito, la soluzione va cercata o con le funzioni di Bessel,
o con un qualche sviluppo in serie.
Il problema è che la soluzione non l'ho trovata da nessuna parte, e non ho
basi matematiche sufficienti a risolvere il problema.
Qualcuno di voi ha qualche testo in cui sia trattato, o ha voglia di
cimentarsi?
E' una parte della mia tesi di laurea, e non so veramente come uscirne...e il tempo stringe orrendamente...
Qui trovate un sunto del problema:
www.scooterclub-nolimits.it/cilindrico.doc
Grazie mille!
Premessa: è un problema che riguarda la mia tesi di laurea, che prevede la soluzione di un problema di trasmissione del calore in coordinate cilindriche.
Ho letto le regole per postare i messaggi, e sto in mezzo tra l'essere bannato e l'essere aiutato..spero nella seconda ipotesi!!
Vi riassumo il problema annoso: ripeto, abbiamo un problema di trasmissione del calore da risolvere in coordinate cilindriche.
Il "generatore" di calore è una barra cilindrica che si puo' assumere
infinitamente lunga (L >> r), inserita in un corpo omogeneo.
Nella realtà di tutti i giorni, sono degli scambiatori di calore (sonde
geotermiche) inseriti nel terreno.
Si conoscono le condizioni iniziali (sistema a riposo), in cui la
temperatura è costante per qualsiasi valore della distanza radiale ed è pari
a 290 K.
Le condizioni al contorno sono T = 305K per r = 0 e t>0 (si assume il
cilindro con raggio infinitesimo) e T = 290K ad una certa distanza
opportuna..diciamo, 20 metri dall'asse del cilindro, e sempre t > 0.
Da quel che ho capito, la soluzione va cercata o con le funzioni di Bessel,
o con un qualche sviluppo in serie.
Il problema è che la soluzione non l'ho trovata da nessuna parte, e non ho
basi matematiche sufficienti a risolvere il problema.
Qualcuno di voi ha qualche testo in cui sia trattato, o ha voglia di
cimentarsi?
E' una parte della mia tesi di laurea, e non so veramente come uscirne...e il tempo stringe orrendamente...
Qui trovate un sunto del problema:
www.scooterclub-nolimits.it/cilindrico.doc
Grazie mille!
Risposte
ho trovato questo
http://www.dmi.units.it/~tironi/equadiff.pdf
se vai a pagina 120, c'è la soluzione mediante il metodo di separazione delle variabili, di una equazione simile alla tua...
prova a mimare il metodo e vedi che ne cavi fuori...
suggerimento: prima di partire poni $T'(r,t)=T(r,t)-T_0$ per avere delle condizioni più belline all'infinito...
buona fortuna!
ps: altrimenti un altro tentativo (potresti avere problemi ad imporre le condizioni iniziali!!) sarebbe provare trasformando l'equazione rispetto alle coordinate spaziali e poi anti-traformando, che dovrebbe funzionare meglio... ma lo considererei un piano 'B', visto che lo vedo contoso.......
ps: ho trovato anche questa introduzione che non ho letto, ma magari può esserti utile...
http://www.imati.cnr.it/~gianazza/general_pde.pdf
http://www.dmi.units.it/~tironi/equadiff.pdf
se vai a pagina 120, c'è la soluzione mediante il metodo di separazione delle variabili, di una equazione simile alla tua...
prova a mimare il metodo e vedi che ne cavi fuori...
suggerimento: prima di partire poni $T'(r,t)=T(r,t)-T_0$ per avere delle condizioni più belline all'infinito...
buona fortuna!
ps: altrimenti un altro tentativo (potresti avere problemi ad imporre le condizioni iniziali!!) sarebbe provare trasformando l'equazione rispetto alle coordinate spaziali e poi anti-traformando, che dovrebbe funzionare meglio... ma lo considererei un piano 'B', visto che lo vedo contoso.......
ps: ho trovato anche questa introduzione che non ho letto, ma magari può esserti utile...
http://www.imati.cnr.it/~gianazza/general_pde.pdf
a dire il vero però non so quanto senso abbiano le tue condizioni iniziali...
la funzione che dai per t=0 non è continua, ed è equivalente come distribuzione ad una funzione costantemente uguale a T_0 (e quindi trasformare con fourier non so quanto ti sarebbe utile)...
magari potresti fissare $T_s$ in un cilindretto finito, oppure mettere un "impulso di calore" a delta...
senti non lo so, magari riflettici un pò tu... scusa se non sono chiarificatore... qua ci vuole david_e che con queste cose ci va a nozze!!!!!!
Tu cmq intanto prova a vedere con il metodo di separazione delle variabili... magari esce qualcosa di decente! (le funzioni di Bessel escono fuori di sicuro, magari riesci a trovare una soluzione che per converge per t->0 addirittura uniformemente alle tue condizioni iniziali, sbarazzandoti di problemi del tipo quasi-ovunque)
la funzione che dai per t=0 non è continua, ed è equivalente come distribuzione ad una funzione costantemente uguale a T_0 (e quindi trasformare con fourier non so quanto ti sarebbe utile)...
magari potresti fissare $T_s$ in un cilindretto finito, oppure mettere un "impulso di calore" a delta...
senti non lo so, magari riflettici un pò tu... scusa se non sono chiarificatore... qua ci vuole david_e che con queste cose ci va a nozze!!!!!!
Tu cmq intanto prova a vedere con il metodo di separazione delle variabili... magari esce qualcosa di decente! (le funzioni di Bessel escono fuori di sicuro, magari riesci a trovare una soluzione che per converge per t->0 addirittura uniformemente alle tue condizioni iniziali, sbarazzandoti di problemi del tipo quasi-ovunque)
Forse questo link un minimo di aiuto te lo dà:
http://www.ingegneriameccanica.net/Tema ... lindro.htm
In bocca al lupo
Ciao
http://www.ingegneriameccanica.net/Tema ... lindro.htm
In bocca al lupo
Ciao
Uhmm..ci abbiamo provato con il metodo che suggerisci, ma non si arriva a molto, purtroppo (perlomeno, noi non ne abbiamo cavato nulla, con le nostre magre conoscenze..molto magre!!)
Le condizioni al contorno sono proprio quelle...il sistema inizialmente è a riposo, quindi tutto assume la stessa temperatura (condizione di equilibrio e terreno indisturbato).
Poi si inizia a trasmettere calore dal cilindro al terreno circostante, e al progredire del tempo, io avrò diferenti profili di temepratura per diverse distanze [ T(r,t) ].
Da quel che mi è parso di capire, si dovrebbe risolvere con le funzioni di Bessel, di cui conosco a malapena l'esistenza.
Il mio problema è solamente questo: mi manca la "base" per poter affrontare questo problema..
David_e, se ci sei, batti un colpo...c'è una persona che medita il suicidio (o l'omicidio di chi gli ha commissionato il problema!! )
Le condizioni al contorno sono proprio quelle...il sistema inizialmente è a riposo, quindi tutto assume la stessa temperatura (condizione di equilibrio e terreno indisturbato).
Poi si inizia a trasmettere calore dal cilindro al terreno circostante, e al progredire del tempo, io avrò diferenti profili di temepratura per diverse distanze [ T(r,t) ].
Da quel che mi è parso di capire, si dovrebbe risolvere con le funzioni di Bessel, di cui conosco a malapena l'esistenza.
Il mio problema è solamente questo: mi manca la "base" per poter affrontare questo problema..
David_e, se ci sei, batti un colpo...c'è una persona che medita il suicidio (o l'omicidio di chi gli ha commissionato il problema!!
)
sul link di Valerio_D il problema è affrontato con il metodo di separazione delle variabili!
non mi è chiaro ancora in che senso si intendono le condizioni iniziali (prima ho detto una cavolata, se tu avessi convergenza uniforme di funzioni continue, il limite è continuo!) , ma sono simili alle tue!
non mi è chiaro ancora in che senso si intendono le condizioni iniziali (prima ho detto una cavolata, se tu avessi convergenza uniforme di funzioni continue, il limite è continuo!) , ma sono simili alle tue!
Dunque, stavo guardando il link.
Allora, metà pagina, "Problema del Cilindro Omogeneo ed Isotropo".
Non mi sono chiarissime le CC.
Temo che si riferisca al campo di temperatura all'interno del cilindro omogeneo ed isotropo di raggio R, e non all'esterno del cilindro...cosa che invece serve a me...
Ho aggiornato il testo del link del mio primo post, noi siamo arrivati a quel punto (non so se correttamente o meno), ora abbiamo il problema di determinare Lambda_n e A_n...
Apprezzo lo sforzo che ci state mettendo!!
Allora, metà pagina, "Problema del Cilindro Omogeneo ed Isotropo".
Non mi sono chiarissime le CC.
Temo che si riferisca al campo di temperatura all'interno del cilindro omogeneo ed isotropo di raggio R, e non all'esterno del cilindro...cosa che invece serve a me...
Ho aggiornato il testo del link del mio primo post, noi siamo arrivati a quel punto (non so se correttamente o meno), ora abbiamo il problema di determinare Lambda_n e A_n...
Apprezzo lo sforzo che ci state mettendo!!
non capisco da dove escono i seni nel tuo documento, ma cmq nn credo di essere di aiuto...
è un problema interessante cercare di capire come si mettono quelle condizioni ai bordi all'infinito... boh... spero che qualcuno venga a dircelo!
...
è un problema interessante cercare di capire come si mettono quelle condizioni ai bordi all'infinito... boh... spero che qualcuno venga a dircelo!
...
Le BC sono relative ad un problema di Dirichelet del Cilindro, cmq
esternamente ti potrebbe tornare utile l'ipotesi di flusso monodimensionale.
Cmq se cerchi su qlk Handbook of Heat Transfer secondo me la tua soluzione
la trovi già risolta. E cmq a partire dal link non dovrebbe essere impossibile
estendere la soluzione al tuo problema.
esternamente ti potrebbe tornare utile l'ipotesi di flusso monodimensionale.
Cmq se cerchi su qlk Handbook of Heat Transfer secondo me la tua soluzione
la trovi già risolta. E cmq a partire dal link non dovrebbe essere impossibile
estendere la soluzione al tuo problema.
Per Thomas: la condizione all'infinito puo' essere posta tranquillamente come condizione a x=20metri.
Dalla simulazione e dai rilevamenti ambientali, anche per tempi molto lunghi (molti anni), la temperatura ad una certa distanza rimane indisturbata..e a 20 metri rimane indisturbata!!
Pe Valerio: abbiamo già cercato in una marea di libri di trasmissione del calore, sia cartacei che elettronici..purtroppo, non abbiamo trovato nulla.
Abbiamo provato anche a risolvere noi l'equazione, ma evidentemente, non siamo all'altezza..
Dalla simulazione e dai rilevamenti ambientali, anche per tempi molto lunghi (molti anni), la temperatura ad una certa distanza rimane indisturbata..e a 20 metri rimane indisturbata!!
Pe Valerio: abbiamo già cercato in una marea di libri di trasmissione del calore, sia cartacei che elettronici..purtroppo, non abbiamo trovato nulla.
Abbiamo provato anche a risolvere noi l'equazione, ma evidentemente, non siamo all'altezza..
Quello che ti volevo dire è che potresti trovare la tua soluzione
accoppiando quella del link con lo strato piano semi-infinito...
tu che ne pensi?
accoppiando quella del link con lo strato piano semi-infinito...
tu che ne pensi?
Uhmm...ci ho provato un pochino, ma, forse anche perché sono un po' alla frutta, non ne ho tirato molto fuori.. 
Allora, vi fornisco un "input" che ho trovato.
www.scooterclub-nolimits.it/heat.pdf
Allora, a pag. 4, 1.2.1-6, si puo' trovare un caso molto simile al mio.
In sostanza, una corona circolare, di raggio compreso tra r1 e r2, in cui r1 si puo' considerare piccolo (esempio, 10cm..che è esattamente il caso mio, con la temperatura pari a 305K) e r2 molto grande, 20metri, con temperatura pari a 290K. La temperatura iniziale è ancora uguale a 290k.
Perfetto, parrebbe....no.
Perché la soluzione presenta un coefficiente, s, dato dal rapporto tra r2 ed r1, che deve essere compreso tra 1,2 e 4. Cosa che, nel mio caso, evidentemente non succede...
Ora, secondo voi, uomini di scienza, quanto diverge la soluzione per valori superiori?
Oppure, avete un metodo più efficace?
www.scooterclub-nolimits.it/heat.pdf
Allora, a pag. 4, 1.2.1-6, si puo' trovare un caso molto simile al mio.
In sostanza, una corona circolare, di raggio compreso tra r1 e r2, in cui r1 si puo' considerare piccolo (esempio, 10cm..che è esattamente il caso mio, con la temperatura pari a 305K) e r2 molto grande, 20metri, con temperatura pari a 290K. La temperatura iniziale è ancora uguale a 290k.
Perfetto, parrebbe....no.
Perché la soluzione presenta un coefficiente, s, dato dal rapporto tra r2 ed r1, che deve essere compreso tra 1,2 e 4. Cosa che, nel mio caso, evidentemente non succede...
Ora, secondo voi, uomini di scienza, quanto diverge la soluzione per valori superiori?
Oppure, avete un metodo più efficace?
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