Problema di teoria : sviluppo di Taylor mclaurin
salve , ho un problema di teoria con lo sviluppo di Taylor mclaurin , perchè sul libro che ho non è spiegato bene , in che casi si usa lo sviiluppo in serie di Taylor Mclaurin?e soprattutto in che modo si usa? è possibile in aso fare qualche sempio? grazie mille!
Risposte
ciao! Lo sviluppo in serie di Taylor lo applichi quando hai una funzione derivabile almeno n volte e la vuoi approssimare con una funzione più semplice,quindi un polinomio. Per esempio la funzione esponenziale $ e^{x} $ la approssimi con una funzione polinomiale grazie allo sviluppo di Taylor.
Chiamiamo con f(x) la funzione da approssimare. Allora tu vuoi che la funzione g(x) con cui l'approssimi sia una buona approssimazione della funzione di partenza quindi si richiede che in un punto x0 dell'intervallo la f(x0)=g(x0) e poi vuoi che si assomiglino anche le derivate prime quindi imponi che f'(x0)=g'(x0) e poi anche le derivate seconde e si impone che f''(x0)=g''(x0) etc.. quindi tanto vai più avanti e tanto l'approssimazione in x0 è migliore. Da queste condizioni trovi la relazione
$ f(x0)=sum_(n = 0)^(n = oo )((f^n(x0))/(n!))(x-x0)^n $
che è appunto l'approssimazione della tua funzione di partenza.
Lo sviluppo di Mac Laurin è dato quando x0=0. Quindi sarà lo stesso ma sostituirai al punto generico lo 0.
Questo è quanto mi è stato spiegato dal mio professore di analisi qualche mese fa perchè avevo già studiato lo sviluppo di Taylor ma non si era ben capito.. se vuoi più dettagli ti conviene cercare in internet, sicuramente troverai di più e anche degli esempi.
Spero di esserti stata utile
ciaooo
Chiamiamo con f(x) la funzione da approssimare. Allora tu vuoi che la funzione g(x) con cui l'approssimi sia una buona approssimazione della funzione di partenza quindi si richiede che in un punto x0 dell'intervallo la f(x0)=g(x0) e poi vuoi che si assomiglino anche le derivate prime quindi imponi che f'(x0)=g'(x0) e poi anche le derivate seconde e si impone che f''(x0)=g''(x0) etc.. quindi tanto vai più avanti e tanto l'approssimazione in x0 è migliore. Da queste condizioni trovi la relazione
$ f(x0)=sum_(n = 0)^(n = oo )((f^n(x0))/(n!))(x-x0)^n $
che è appunto l'approssimazione della tua funzione di partenza.
Lo sviluppo di Mac Laurin è dato quando x0=0. Quindi sarà lo stesso ma sostituirai al punto generico lo 0.
Questo è quanto mi è stato spiegato dal mio professore di analisi qualche mese fa perchè avevo già studiato lo sviluppo di Taylor ma non si era ben capito.. se vuoi più dettagli ti conviene cercare in internet, sicuramente troverai di più e anche degli esempi.
Spero di esserti stata utile
ciaooo
grazie mille per l'aiuto!!!!
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