Problema di Sturm Liouville!
Ho il seguente problema di SL (senza autovalori)
u' ' + u = 1
u(0) = 0; u(2pi)= 0
Adesso, vado a vedere l'omogeneo e ottengo che la soluzione generale è ccosx + dsenx e viste le condizioni iniziali (uguali anche nel problema omogeno) mi viene c = 0 e d che può assumere infiniti valori! Dunque controllando l'ortogonalità della funzione, mi risulta che anche il problema iniziale ha infinite soluzioni.
Fino a qui mi è tutto chiaro
Andando avanti con l'esercizio si cerca la soluzione del problema, che è della forma ccosx+dsenx+v(x) con v(x) soluzione particolare (cioè tutte le soluzioni dell'omogeneo + una particolare).
Qui iniziano i problemi:
1) Come determino la soluzione particolare?
2) Dopo aver trovato la soluzione particolare, e aver applicato le condizioni al bordo, mi viene che la soluzione del problema è u(x) = -cosx +dsenx +1. Il dubbio principale sta nel fatto che continui a comparire il termine "cosx" sebbene io abbia visto che la c è 0 e quindi quel termine va via!
In conclusione, devo dimenticare le condizioni che impongo con l'omogeneo, e continuare a considerare valida una soluzione nonostante il coefficiente si annulli?
u' ' + u = 1
u(0) = 0; u(2pi)= 0
Adesso, vado a vedere l'omogeneo e ottengo che la soluzione generale è ccosx + dsenx e viste le condizioni iniziali (uguali anche nel problema omogeno) mi viene c = 0 e d che può assumere infiniti valori! Dunque controllando l'ortogonalità della funzione, mi risulta che anche il problema iniziale ha infinite soluzioni.
Fino a qui mi è tutto chiaro
Andando avanti con l'esercizio si cerca la soluzione del problema, che è della forma ccosx+dsenx+v(x) con v(x) soluzione particolare (cioè tutte le soluzioni dell'omogeneo + una particolare). Qui iniziano i problemi:
1) Come determino la soluzione particolare?
2) Dopo aver trovato la soluzione particolare, e aver applicato le condizioni al bordo, mi viene che la soluzione del problema è u(x) = -cosx +dsenx +1. Il dubbio principale sta nel fatto che continui a comparire il termine "cosx" sebbene io abbia visto che la c è 0 e quindi quel termine va via!
In conclusione, devo dimenticare le condizioni che impongo con l'omogeneo, e continuare a considerare valida una soluzione nonostante il coefficiente si annulli?
Risposte
la soluzione che hai scritto è giusta : $u= -cosx+dsenx+1$
le condizioni iniziali si impongono solo dopo aver trovato la soluzione generale della non omogenea
le condizioni iniziali si impongono solo dopo aver trovato la soluzione generale della non omogenea
"quantunquemente":
la soluzione che hai scritto è giusta : $u= -cosx+dsenx+1$
le condizioni iniziali si impongono solo dopo aver trovato la soluzione generale della non omogenea
Questo è chiaro! Ma per vedere se l'omogenea ammette solo la soluzione banale o se ne ammette infinite non devo sempre applicare le condizioni? E una volta verificato in questo modo e preso nota del fatto che siano una, nessuna o centomila devo semplicemente tornare indietro "dimenticandomi" di quei valori di "c" e "d" e proseguire normalmente?
Invece per il calcolo della soluzione particolare, come faccio? In questo caso risulta 1 ma si nota subito vista la semplicità del problema, altrimenti come le trovo?
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