Problema di massimo

[Demostene92]

[xdom="dissonance"]Eliminato "urgente!" dal titolo. Vedi regolamento §3.3:

regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html

Grazie.[/xdom]
Ciao a tutti! Sto perdendo la testa dietro ad un esercizio!
Il testo è questo:

"Dato un cono di apotema $a = 100$ e raggio $r$, determinare la sfera inscrivibile nel cono avente raggio $R$ massimo."

Ho capito che il problema va ridotto ad un esercizio di geometria piana.
La figura l'ho impostata cosi:
1) Base del cono --> $AB$
2) Vertice del cono --> $C$
3) Centro cerchio inscritto --> $O$
4) Apotema --> $BC = 100$
5) Punto di incontro tra O e l'apotema --> $T$
6) Altezza del cono --> $CK$

Io ho cercato di impostarlo in questo modo:

$CK = sqrt(100^2 - r^2)$ quindi ottengo che $CO = sqrt(100^2 - r^2) - R$

A questo punto ho fatto la proporzione:

$BC:CO = OT:BK$ da cui $100/[sqrt(100^2 - r^2) - R] = R/r$

Facendo i calcoli --> $R^2 - (sqrt(100^2 - r^2))R + 100r = 0$

Ora però non riesco a capire come andare avanti e soprattutto se è corretto quanto fatto fino ad ora!
Aiuto please

[Plepp]

Ciao. A me sembra un problema che si possa risolvere col calcolo differenziale...in che contesto l'hai trovato?

[Demostene92]

Devo risolverlo con le derivate.. Esami di stato scientifico

[Quinzio]

Come l'hai messa tu è un po' confusa, secondo me, anche hai detto bene che va ridotto a un problema di geometria piana.

Guarda:
$CK = \sqrt(100^2-r^2)$
e fin qui ci siamo.

Poi dovresti vedere che $TO=OK=R$, il raggio della sfera inscritta.
$T$ è un ponto tra $C$ e $A$ nel mio disegno.
Quindi posso scrivere che:
$CO=CK-OK=CK-R=\sqrt(100^2-r^2)-R$

Abbiamo che $CTO$ e $CKA$ sono triangoli simili, cioè uno è lo "zoom" dell'altro.
Allora posso scrivere che:
$(CO)/(OT)=(CA)/(AK)$

ovvero:
$(\sqrt(100^2-r^2)-R)/(R) = (100)/(r)$

a questo punto si tratta "solamente" di risolvere quest'ultima equazione, cioè di isolare $R$, che sarà funzione di $r$.

[Palliit]

Fermo restando che il problema equivale ad inscrivere in un triangolo isoscele di lato obliquo [tex]a[/tex] (l'apotema del cono) e di base [tex]2r[/tex] (il diametro di base del cono) la circonferenza di raggio [tex]R[/tex]massimo, potrebbe velocizzare un po' i calcoli il tener presente che la circonferenza inscritta in un triangolo ha raggio [tex]R[/tex] dato da: [tex]S=p\cdot R[/tex], con [tex]S=Area_{triangolo}[/tex] e [tex]p=semiperimetro_{triangolo}[/tex].
Forse mettendo come variabile (al di là di quella che sembra implicitamente indicata dal testo del problema come opportuna) la semiapertura del cono - ovvero la metà dell'angolo al vertice del triangolo isoscele che ne è la sezione assiale - si otterrebbe di dover derivare una funzione più semplice. Almeno mi pare.