Problema di logica, matrice wronskiana

[Giuly191]

Citando da Wikipedia:

..se il Wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo, le funzioni possono o meno essere linearmente indipendenti. Un errore comune è quello di considerare che se W = 0 ovunque, ciò implichi la dipendenza lineare ..

.
Però non riesco a farmi tornare le implicazioni, perchè dal mio libro leggo che la non singolarità del determinante della Wronskiana in un punto qualsiasi di un intervallo è condizione necessaria per l'indipendenza lineare delle funzioni che ho messo nella matrice. Ma allora se nego la non singolarità (per esempio dicendo che il determinante è nullo in ogni punto dell'intervallo) ottengo la negazione dell'indipendenza lineare, che dovrebbe essere la dipendenza lineare.
Dove sbaglio?

[Rigel1]

Se le funzioni in oggetto sono soluzioni di una medesima equazione differenziale lineare omogenea (di ordine opportuno), allora $W$ si annulla in un punto se e solo se si annulla ovunque.
Se le funzioni sono invece di natura qualsiasi (purché derivabili un numero sufficiente di volte), questa implicazione non è più vera; può inoltre succedere ciò che è illustrato nel secondo esempio riportato su wikipedia.

[Giuly191]

In effetti avevo tralasciato un'ipotesi! Ma quindi, dall'esempio di Wiki, $|x^3|$ e $x^3$ non possono essere soluzioni della stessa equazione differenziale.
Ho come l'impressione che questa cosa dovrebbe essermi ovvia, ma non lo è. C'è una spiegazione veloce?

[dissonance]

"Giuly19":In effetti avevo tralasciato un'ipotesi! Ma quindi, dall'esempio di Wiki, $|x^3|$ e $x^3$ non possono essere soluzioni della stessa equazione differenziale[...]

[...]lineare, del secondo ordine e in forma normale. Se aggiungi queste richieste allora stai dicendo una cosa vera. Infatti, se le funzioni \(f(x)=x^3, g(x)=\lvert x \rvert^3 \) fossero soluzioni dell'equazione

\[y''+p(x)y+q(x)=0,\quad x \in \mathbb{R}\]

(si intende, naturalmente, che i coefficienti \(p, q\) dipendono con continuità da \(x\)), allora dal fatto che

\[f(0)=0=g(0),\ f'(0)=0=g'(0); \]

seguirebbe, per il teorema di esistenza e unicità locale, che \(f(x)=g(x)\) almeno in un intorno di \(x=0\) il che è evidentemente falso.

[Giuly191]

Grazie della spiegazione e della correzione!