Problema di estremi condizionati
Salve qui posto la foto dell'esercizio svolto da me dove bisogna trovare massimi e minimi e avevo qualche domanda:in che modo giustifico il fatto che (0,0) è un punto di minimo (ammesso che lo sia)? I punti (0,0) e (1,1) sono relativi o assoluti? E infine, ponendo le derivate parziali =0 e risolvendo il sistema trovo dei punti che hanno delle x e/o y negative, queste non vanno prese dato il dominio dato all'inizio no?
Risposte
Proviamo a riflettere: l'insieme $E$ dove stai cercando i punti è chiuso e limitato (= compatto) e la $f$ è continua (pure su tutto $RR^2$), dunque per il teorema di weiestrass devono esistere massimo e minimo assoluti di $f$ in $E$.
Dopo aver trovato i punti interni ad $E$, ovvero quelli per cui ${0
$\partial E_1 = { x = 0, 0 <= y <= 1}; \ \partial E_2 = {x = y, x \in [0,1]}; \ \partial E_3 = {y = 1, 0 <= x <= 1}$.
Devi studiare la funzione su ognuno dei singoli pezzi e cercarne i candidati ad essere max o min (ti verrano funzioni di una variabile, quindi robe di analisi 1, per cui non ha senso fare un'hessiana).
Inoltre devi sempre comprendere anche quelli che si chiamano i "punti di taglio", ovvero i bordi dei bordi, che nel tuo caso sono $(0,0),(0,1),(1,1)$.
Dopo aver trovato tutti i tuoi punti candidati a max/min, dato che sai che devono esistere max e min assoluti, basta che li sostituisci in $f$ e quelli che ti daranno il valore massimo saranno punti di massimo, mentre quelli che ti daranno il valore minimo saranno punti di minimo.
esatto: tu stai cercando cose che stanno in $E$, quindi tutti i punti che trovi che non vi appartengono, vanno scartati
Dopo aver trovato i punti interni ad $E$, ovvero quelli per cui ${0
$\partial E_1 = { x = 0, 0 <= y <= 1}; \ \partial E_2 = {x = y, x \in [0,1]}; \ \partial E_3 = {y = 1, 0 <= x <= 1}$.
Devi studiare la funzione su ognuno dei singoli pezzi e cercarne i candidati ad essere max o min (ti verrano funzioni di una variabile, quindi robe di analisi 1, per cui non ha senso fare un'hessiana).
Inoltre devi sempre comprendere anche quelli che si chiamano i "punti di taglio", ovvero i bordi dei bordi, che nel tuo caso sono $(0,0),(0,1),(1,1)$.
Dopo aver trovato tutti i tuoi punti candidati a max/min, dato che sai che devono esistere max e min assoluti, basta che li sostituisci in $f$ e quelli che ti daranno il valore massimo saranno punti di massimo, mentre quelli che ti daranno il valore minimo saranno punti di minimo.
E infine, ponendo le derivate parziali =0 e risolvendo il sistema trovo dei punti che hanno delle x e/o y negative, queste non vanno prese dato il dominio dato all'inizio no?
esatto: tu stai cercando cose che stanno in $E$, quindi tutti i punti che trovi che non vi appartengono, vanno scartati
Si così però perchè quando mi restringo alla frontiera per trovare candidati, basta sostituirli alla funzione ristretta per verificare che siano massimi o minimi? Cosa me lo dice che sono degli estremi anche per la funzione a due variabili?
No aspetta, non ci siamo capiti mi sa.
Andiamo con ordine:
1) Per weiestrass esistono max e min assoluti di $f(x,y)$ in $E$.
2) Trovi prima i punti interni ad $E$, usando dunque il gradiente.
3) Ora cerchi i punti sul bordo $\partial E$. Per farlo, devi studiare la funzione $f$ ristretta ad ogni pezzo di bordo.
4) Adesso hai: candidati max/min interni ad $E$ + candidati max/min su $\partial E$ + devi considerare i bordi dei bordi
5) Per capire chi siano max e min di $f(x,y)$, prendi ognuno di questi punti e lo sostituisci alla tua funzione in due variabili (per forza in due variabili, dato che ti vengono punti con due coordinate $(x,y)$ ).
Fine
Andiamo con ordine:
1) Per weiestrass esistono max e min assoluti di $f(x,y)$ in $E$.
2) Trovi prima i punti interni ad $E$, usando dunque il gradiente.
3) Ora cerchi i punti sul bordo $\partial E$. Per farlo, devi studiare la funzione $f$ ristretta ad ogni pezzo di bordo.
4) Adesso hai: candidati max/min interni ad $E$ + candidati max/min su $\partial E$ + devi considerare i bordi dei bordi
5) Per capire chi siano max e min di $f(x,y)$, prendi ognuno di questi punti e lo sostituisci alla tua funzione in due variabili (per forza in due variabili, dato che ti vengono punti con due coordinate $(x,y)$ ).
Fine
ah okok capito perfettamente grazie mille
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