Problema di concetto sulle succesioni di funzioni
Ciao a tutti.... ho scoperto di avere dei grossi problemi nello svolgimento di esercizi riguardanti successioni di funzioni; metterò due esempi con cio che ho fatto io per rendere più chiari i miei dubbi anche se in realtà mi manca proprio il modus operandi;
Qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come si fanno queste tipologie di esercizi??? Grazie
Esempio 1:
Sia: $ f_n(x)=(4-x)/(x^2+x+n) $ verificare che fn converge puntualmente su $RR$ e stabilire se la convergenza è anche uniforme.
Mio svolgimento (penso completamente sbagliato
):
$ lim_(n -> oo ) f_n(x) = 0 AA x in RR $ da cui deduco che è convergente puntulamente su $RR$.
$ lim_(n -> oo ) (Sup|f_n(x)-f(x)|)= 0 $ e perciò deduco che è anche convergente uniformemente.
Chiaramente ho forti dubbi su tutto ciò che ho fatto...
Esempio 2:
Sia data la successione di funzioni:
$ f_n(x) = sin(pi/(2+(4x)^n)) , x geq 0 $
verificare che converge puntualmente su $[0, + oo)$ e calcolare funzione limite f(x); stabilire se è anche uniforme sullo stesso intervallo e se non lo è se esistono intervalli dove la successione converge uniformemente.
Mio svolgimento:
$ lim_(n -> + oo) f_n(x) = sin 0 = 0 per x!= 0 e f_n(0) = sin (pi/2) = 1 per x = 0 $
Da cui deduco che è convergente puntulamnente sull'intervallo dato e che la funzione limite è: $ f(x)= { ( 0 se x!=0 ),( 1 se x=0 ):} $
Perciò dato che la funzione limite è discontinua in 0; non posso avere la convergenza uniforme in $[0, + oo )$
Se però $ a in RR; a>0 $ ho che: $ Sup_(x geq a) |sin(pi/(2+(4x)^n))| = sin (pi/2+(4a)^n) rarr 0 per nrarr + oo; $
E quindi concludo che è uniformemente continua in $[a; oo )$
Perfavore aiutatemi perchè questo è il meglio che son riuscito a fare Grazie
Qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come si fanno queste tipologie di esercizi??? Grazie
Esempio 1:
Sia: $ f_n(x)=(4-x)/(x^2+x+n) $ verificare che fn converge puntualmente su $RR$ e stabilire se la convergenza è anche uniforme.
Mio svolgimento (penso completamente sbagliato
):$ lim_(n -> oo ) f_n(x) = 0 AA x in RR $ da cui deduco che è convergente puntulamente su $RR$.
$ lim_(n -> oo ) (Sup|f_n(x)-f(x)|)= 0 $ e perciò deduco che è anche convergente uniformemente.
Chiaramente ho forti dubbi su tutto ciò che ho fatto...
Esempio 2:
Sia data la successione di funzioni:
$ f_n(x) = sin(pi/(2+(4x)^n)) , x geq 0 $
verificare che converge puntualmente su $[0, + oo)$ e calcolare funzione limite f(x); stabilire se è anche uniforme sullo stesso intervallo e se non lo è se esistono intervalli dove la successione converge uniformemente.
Mio svolgimento:
$ lim_(n -> + oo) f_n(x) = sin 0 = 0 per x!= 0 e f_n(0) = sin (pi/2) = 1 per x = 0 $
Da cui deduco che è convergente puntulamnente sull'intervallo dato e che la funzione limite è: $ f(x)= { ( 0 se x!=0 ),( 1 se x=0 ):} $
Perciò dato che la funzione limite è discontinua in 0; non posso avere la convergenza uniforme in $[0, + oo )$
Se però $ a in RR; a>0 $ ho che: $ Sup_(x geq a) |sin(pi/(2+(4x)^n))| = sin (pi/2+(4a)^n) rarr 0 per nrarr + oo; $
E quindi concludo che è uniformemente continua in $[a; oo )$
Perfavore aiutatemi perchè questo è il meglio che son riuscito a fare
Grazie
Risposte
Emh, non ce proprio nessuno che abbia 10 minuti per aiutarmi? Perchè martedì ho l'esame... 
Perfavore c'è qualcuno che può rispondermi?? Grazie comunque 
@anto.massy: Per favore, riduci le dimensioni dell'avatar (cfr. regolamento, 2.3).
@anto.massy: scusami ma faccio fatica a leggere post dove ci sono $\lim_n$ che come risultato danno qualcosa che dipende da $n$ e $"sup"_x$ che come risultato danno qualcosa che dipende da $x$...
In riferimento al primo esercizio:
Attenzione a quando parli di convergenza puntuale: il limite che stai calcolando non può venire in funzione di [tex]n[/tex]; la funzione limite deve essere una funzione di [tex]x[/tex] e nel caso considerato risulta [tex]f(x)=0[/tex] proprio perché: [tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{4-x}{x^2+x+n}=0=f(x)[/tex]...
Attenzione a quando parli di convergenza puntuale: il limite che stai calcolando non può venire in funzione di [tex]n[/tex]; la funzione limite deve essere una funzione di [tex]x[/tex] e nel caso considerato risulta [tex]f(x)=0[/tex] proprio perché: [tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{4-x}{x^2+x+n}=0=f(x)[/tex]...
Scusa Rigel, ma non avevo visto la tua risposta!
Andrea grazie infinite per avermi risposto, chiaramente l'uguale che ho messo nei limiti è dovuto a stanchezza... ammetto che scritto così può far rabbrividire ma intendevo dire che al tendere di n a più infinito trascuravo il resto e quindi il mio limite era comunque uguale a 0, oltre alla forma di sicuro non corretta mi servirebbe capire se certi risultati (o tutti) non sono giusti perchè...
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, dovresti prima calcolare, a $n$ fissato, $"sup"_x |f_n(x) - f(x)|$; chiaramente dovrai ottenere un numeretto che in generale dipenderà solo da $n$ (la $x$ non può più comparire).
Una volta calcolati questi numeretti, ne fai il limite per $n\to +\infty$; se prima non li calcoli, è impossibile dirti se il tuo procedimento è corretto o meno.
(Mi riferisco al primo esercizio.)
Una volta calcolati questi numeretti, ne fai il limite per $n\to +\infty$; se prima non li calcoli, è impossibile dirti se il tuo procedimento è corretto o meno.
(Mi riferisco al primo esercizio.)
Riguardo la convergenza puntuale c'è poco da dire: la successione di funzioni converge puntualmente alla funzione limite [tex]f(x)=0, \forall x\in \mathbb{R}[/tex]. Riguardo la convergenza uniforme, osserva che la [tex]f_n(x)[/tex] è continua nel suo insieme di definizione ed è ivi derivabile: trova l'espressione della sua derivata prima e ricerca il sup, eventualmente massimo, di tali funzioni... dopo procedi al calcolo del limite: se questo risulta 0 la convergenza è uniforme...
Già che ci siamo: per il secondo esercizio, devi tener conto del fatto che $(4x)^n\to +\infty$ se $x>1/4$, mentre $(4x)^n\to 0$ se $x\in (0, 1/4)$.
mmmmm ok, appena finisco gli altri esercizi mi metto e li riprovo a fare come mi avete detto... che dire grazie davvero di cuore ad entrambi...
Allora:
Per l'esercizio uno ho fatto cosi:
Poichè $ lim_(n -> +oo ) f_n(x)=0 AA x in RR $ concludo che la successione converge puntualmente.
Inoltre, poichè: $ Sup_(x in RR) |f_n(x)-0|=1/n che rarr 0 per n rarr +oo $ ho che la convergenza è anche uniforme..
____________________________________________________________________________________________________
Per l'esercizio due:
$ lim_(n -> +oo ) (sin(pi/(2+(4x)^n)))=f(x)={ ( sin(pi/2)=1 ... per x in [0;1/4)),( sin0 =0 ... per x>1/4 ),( sin(pi/3)=sqrt(3/2) ... per x = 1/4)} $
Perciò ho che la successione converge puntualmente su E=[0,+oo ).
Inoltre, poichè $f_x(x)$ è continua in E ma non lo è f(x), la succesione non è convergenete uniformemente su E;
Visto che mi viene chiesto se lo è su qualche intervallo non limitato ho allora supposto di far così:
$ Sup_(x>1/4) |sin(pi/(2+(4x)^n))| < lim_(x -> (1/4)_+) (sin(pi/(2+((4x)^n)))) = sqrt(3)/2 $ e quindi mi verrebbe da dire che la convergenza non è uniforme in nessun intervallo limitato... però credo di sbagliare il superiore... qulacuno mi potrebbe dire dove???
Per l'esercizio uno ho fatto cosi:
Poichè $ lim_(n -> +oo ) f_n(x)=0 AA x in RR $ concludo che la successione converge puntualmente.
Inoltre, poichè: $ Sup_(x in RR) |f_n(x)-0|=1/n che rarr 0 per n rarr +oo $ ho che la convergenza è anche uniforme..
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Per l'esercizio due:
$ lim_(n -> +oo ) (sin(pi/(2+(4x)^n)))=f(x)={ ( sin(pi/2)=1 ... per x in [0;1/4)),( sin0 =0 ... per x>1/4 ),( sin(pi/3)=sqrt(3/2) ... per x = 1/4)} $
Perciò ho che la successione converge puntualmente su E=[0,+oo ).
Inoltre, poichè $f_x(x)$ è continua in E ma non lo è f(x), la succesione non è convergenete uniformemente su E;
Visto che mi viene chiesto se lo è su qualche intervallo non limitato ho allora supposto di far così:
$ Sup_(x>1/4) |sin(pi/(2+(4x)^n))| < lim_(x -> (1/4)_+) (sin(pi/(2+((4x)^n)))) = sqrt(3)/2 $ e quindi mi verrebbe da dire che la convergenza non è uniforme in nessun intervallo limitato... però credo di sbagliare il superiore... qulacuno mi potrebbe dire dove???
Prova a considerare intervalli del tipo $[a, +\infty)$ con $a > 1/4$.
In questo caso è corretto fare così?
allora:
$ Sup_(x in [a,+oo)) |f_n(x)-0|= sin(pi/(2+(4a)^n)) $
che tende a 0 per n che tende a più infinito... e perciò la successione è convergente uniformemente su intervalli aperti del tipo: I=$[a;+oo)$ con a > 1/4...
Così mi piace già di più... ma è corretto tutto ciò che ho detto???
E per il resto dello svolgimento ho messo dentro altri errori ??? Grazie davvero tante
allora:
$ Sup_(x in [a,+oo)) |f_n(x)-0|= sin(pi/(2+(4a)^n)) $
che tende a 0 per n che tende a più infinito... e perciò la successione è convergente uniformemente su intervalli aperti del tipo: I=$[a;+oo)$ con a > 1/4...
Così mi piace già di più... ma è corretto tutto ciò che ho detto???
E per il resto dello svolgimento ho messo dentro altri errori ??? Grazie davvero tante
Posto che, per il calcolo del sup, tu abbia preventivamente osservato che la funzione $h(t) = \sin(\pi/(2+t))$ è monotona decrescente per $t>0$, direi che va bene.
Si scusa, lo avevo dato per scontato, ma avrei dovuto scriverlo.... Grazie ancora
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