Problema di concavità e derivabilità
Ciao a tutti, tra pochi giorni ho un esame e potrebbe uscire un problema simile a questo scritto qui sotto. Il professore ci ha dato una piccola spinta per risolvere questo problema (dicendoci che basta conoscere la definizione di concavità e sapere che bisogna lavorare sul fatto che la f(x) sia una funzione composta). Purtroppo anche con queste informazioni non siamo riusciti a dimostrare cio che è stato richiesto.
Questo è il problema:
Sia U una funzione di una variabile concava e
g una funzione di una variabile non-decrescente e concava.
Si assuma che entrambi g e U siano differenziabili due volte (cioè esiste ed è definita la derivata seconda).
Dimostrare che la funzione
f(x)= g(U(x)), per ogni x è concava.
L'unico modo che ci è venuto per risolverlo è stato quello di fare la derivata seconda composta f(x) e poi andare ad analizzare ogni singolo pezzo per vedere se era concava. Purtroppo in questo modo non siamo riusciti ad arrivare alla dimostazione (magari è il modo giusto ma abbiamo sbagliato qualche passaggio).
Speriamo che qualcuno ci possa illuminare
Grazie mille!
Questo è il problema:
Sia U una funzione di una variabile concava e
g una funzione di una variabile non-decrescente e concava.
Si assuma che entrambi g e U siano differenziabili due volte (cioè esiste ed è definita la derivata seconda).
Dimostrare che la funzione
f(x)= g(U(x)), per ogni x è concava.
L'unico modo che ci è venuto per risolverlo è stato quello di fare la derivata seconda composta f(x) e poi andare ad analizzare ogni singolo pezzo per vedere se era concava. Purtroppo in questo modo non siamo riusciti ad arrivare alla dimostazione (magari è il modo giusto ma abbiamo sbagliato qualche passaggio).
Speriamo che qualcuno ci possa illuminare
Grazie mille!
Risposte
Ragazzi, è facile. Avete la derivata seconda. Qual è il suo segno?
Grazie della risposta.
La derivata è:
2U'(x) * g''(U(x)) + U''(x) * g'(U(x))
Non sappiamo proprio come studiare il segno di questa derivata. Dal segno poi sappiamo che si decide la concavità/convessità, infatti era questo il modo in cui pensavamo di risolvere, però ci siamo fermati quì.
La derivata è:
2U'(x) * g''(U(x)) + U''(x) * g'(U(x))
Non sappiamo proprio come studiare il segno di questa derivata. Dal segno poi sappiamo che si decide la concavità/convessità, infatti era questo il modo in cui pensavamo di risolvere, però ci siamo fermati quì.
Ma ragazzi, intanto il primo termine è sbagliato. La derivata corretta è
\[
f''(x)=g''(U(x))(U'(x))^2 + U''(x)g'(U(x)).\]
Avete tutti gli strumenti per stabilire il segno di questa roba qui. Ricordate che conoscete il segno di tutte le quantità coinvolte: $g', g''$ e $U''$.
\[
f''(x)=g''(U(x))(U'(x))^2 + U''(x)g'(U(x)).\]
Avete tutti gli strumenti per stabilire il segno di questa roba qui. Ricordate che conoscete il segno di tutte le quantità coinvolte: $g', g''$ e $U''$.
Hai ragione, ho sbagliato a scrivere la derivata qui sul forum, ma sul foglio la avevo scritta giusta 
Il problema è che non riesco proprio a vedere questi segni cosi espliciti. Ti spiego perchè:
\(\displaystyle (U′(x))^2 \) il segno è ovio essendo tutto in potenza di 2.
\(\displaystyle g′′(U(x)) \) io so che g è concava, quindi la derivata seconda è <= 0, ma dato che il suo argomento è composto (da U(x)) questo non cambia qualcosa sul segno?
\(\displaystyle U′′(x) \) questa funzione dato che è concava è <= 0
\(\displaystyle g′(U(x)) \) oltre che è composta, è anche derivata prima, che informazioni avrei per il segno di questa funzione?
Il problema è che non riesco proprio a vedere questi segni cosi espliciti. Ti spiego perchè:
\(\displaystyle (U′(x))^2 \) il segno è ovio essendo tutto in potenza di 2.
\(\displaystyle g′′(U(x)) \) io so che g è concava, quindi la derivata seconda è <= 0, ma dato che il suo argomento è composto (da U(x)) questo non cambia qualcosa sul segno?
\(\displaystyle U′′(x) \) questa funzione dato che è concava è <= 0
\(\displaystyle g′(U(x)) \) oltre che è composta, è anche derivata prima, che informazioni avrei per il segno di questa funzione?
Tu sai che $g''(y)\le 0$ per ogni $y\in\mathbb R$. In particolare, $g''(U(x))\le 0$ per ogni \(x\in \mathbb R\). Stesso discorso per $g'(U(x))$, della quale tu conosci il segno perché sai che $g$ è crescente.
Ti rigrazio un sacco per l'aiuto, ora è tutto molto chiaro!
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