PROBLEMA DI CAUCHY...UNA DOMANDA

[leodistefano]

ragazzi scusate mi potete dire una cosa?
se io ho il problema di cauchy:

y'=[(2ln(3t))/t^4]*(y-2)^2

y(1) = 2


quale è la soluzione del problema di cauchy?
io ho pensato cosi:
siccome y(1) = 2, il termine della y si annulla e quindi non potrei dividere y'/(y-2)^2 quindi l'unica soluzione è quella nulla cioè y=0.
ragazzi vi prego rispondete xke molto probabilmente la prof me lo chiederà all'orale di lunedi....
grazie a tutti

[cavallipurosangue]

La soluzione è quella che rende nulla $f(y)=(y-2)^2$, che proprio come dici tu è la funzione costante $y(t)=2$.

[leodistefano]

no scusa io avevo scritto y(t) = 0
tu y(t) = 2, quale è quella giusta?

grazie 1000

[Nidhogg]

$y'=((2ln(3t))/t^4)*(y-2)^2$

$y=(9t^3)/(6ln(t)-9t^3*c+2(3*ln(3)+1))+2$

Ora con ponendo la condizione $y(1)=2$, si ha:

$y=9/(-9*c+6*ln(3)+2)+2=k$. Ora nel nostro caso k vale 2. Con $k=2$ l'equazione non ha soluzioni.

$9/(-9*c+6*ln(3)+2)+2=k rarr c=(6*(k-2)*ln(3)+2k-13)/(9*(k-2))$. Quindi k deve essere necessariamente diverso da 2.


Ciao!

[leodistefano]

scusa non ho capito il secondo passaggio, il resto l'ho capito...mi potresti spiegare il secondo passaggio?

grazie 1000
leo

[cavallipurosangue]

Intendo proprio $y=2$

[cavallipurosangue]

Intanto che aspetto conferme da più in alto, è bene precisare che la soluzione di ermanno è sempre corretta, tutte le volte che non siamo di fronte ad un certo valore di $y$ che annulla $f(y)$. In questo caso infatti, viste le condizioni inizali, l'unica soluzione è proprio $y=2$.

[Sk_Anonymous]

Il problema di Cauchy postato ammette una ed una sola soluzione locale, prolungabile ad un'unica soluzione massimale. Il procedimento di risoluzione esplicita postato da Leonardo funziona, ma solo nel caso in cui si cerchino soluzioni che non toccano mai la retta $y=2$. Il dato iniziale e' proprio $2$, da cui l'unica soluzione risulta $y=2$.

[leodistefano]

ok quindi l'unica soluzione è y=2
giusto! xke cosi la y si annulla....
tutto questo è legato al fatto che il dato di partenza è y(t) = 2
no?

[leodistefano]

raga giuro che poi non vi rompo + le scatole
in questo problema di cauchy:

y' = (4/t)*y + 2ln(3t)

y'(1) = -2

la traccia dell'esercizio mi chiedeva quali erano le condizioni massimali di esistenza all'inizio del problema (prima di risolverlo) e quando si è arrivati alla soluzione.
premesso che la risoluzione del problema mi viene y = (2/9-2+2/3 ln3)t^4 + 2t/3( -1/3 -ln(3t))

le condizioni che io ho posto sono:
cond iniziale t>0

cond finale t>0 (per via del logaritmo)...
PER VOI E' GIUSTO?FATEMI SAPERE
GRAZIE 1000
LEO

[Sk_Anonymous]

E' corretto, fai attenzione comunque che il problema che hai dato non e' un Problema di Cauchy, avendo dato il dato iniziale sulla derivata di $y$ e non su $y$; ne segue che la teoria sui Problemi di Cauchy non si applica.

[leodistefano]

no oddio scusami è stato un errore di battitura!!!!!!!!!!!
il dato ovviamente era riferito alla y!!!
scusate!
leo