Problema di Cauchy:esistenza,unicità e intervalli massimali.

[mklplo751]

Salve,ultimamente(dopo aver provato per più di un mese a non studiare cose che andassero oltre a quelle che andrebbero fatte alla mia età),ho incominciato a studiare le equazioni differenziali ordinarie e le condizioni di esistenze e unicità(locali e globali) delle soluzioni dei problemi di Cauchy.Il problema è che andando a fare gli esercizi,alcuni mi riescono facili,ma poi mi ritrovo questo:
"Dato il problema di Cauchy:
$ { ( y'=artg(y)-1/t ),( y(1)=b):}(b>0) $
1)Discutere esistenza e unicità locale.
2)Determinare l'intervallo massimale di esistenza.
3)Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni.
4)Per i valori di $b$ per i quali l'intervallo massimale è $(0,+ oo)$ stabilire se esistono asintoti obliqui.
5)Dimostrare che esiste un unico b tale che la soluzione corrispondente esiste in $(0,+oo)$ e tende a zero per $t -> +oo$."
Per il punto 1,prima di tutto pongo $t$ diverso da $0$,e dato che $artg(y)-1/t=f(t,y) \in C^1(RR-{0} xx RR)$ segue che almeno localmente ammette un'unica soluzione.Da qui in poi non capisco come fare.Se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi come fare,magari aiutandomi anche a capire un po' meglio la teoria?

[mklplo751]

Ho riprovato a pensarci e ho proceduto valutando la funzione,cioè $y(1)$ può assumere valori necessariamente nell'intervallo $(0,pi/2-1)$,quindi l'intervallo massimale della funzione è $(0,+oo)$ se $0

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[gugo82]

Che te ne importa di $y(1)$?
Quali sono i teoremi che usi per stabilire l’intervallo massimale di esistenza?

[mklplo751]

Grazie per la risposta.
Rivedendo i calcoli vedo che ho commesso vari errori,e quindi alla fine sto di nuovo al punto di partenza.
Inizialmente,mi sono concentrato su $y(1)$ perché dopo chiede qualcosa per $b$ e quindi pensavo che in qualche modo influenzasse l'intervallo massimale.
Per quanto riguarda i teoremi io conosco questi:

Sia $ S:=(a,b) xxRR^n $ .Supponiamo che $ vec(f) $ sia definita su $ S \cup \partial S $,e che in $S$ valgano le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.Se inoltre esistono 2 costanti $k_1>=0$ e $k_2>=0$ tali che $ ||vec(f)||<=k_1+k_2||\vec(y)|| $ $ \forall (t,\vec(y)) \in S \cup \partial S $,allora, $ \forall (t_0,\vec(y)_0) \in S $ la soluzione
$ \vec(\varphi)(t;t_0,\vec(y)_0) $ è definita in $ [a,b] $.

Valgano le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.Siano $D_0$ un compatto contenuto in $D$,$(t_0,\vec(y)_0)$ un punto in $D_0$ e $J_(\varphi)=(T_min,T_max)$ l'intervallo massimale di eistenza di $ \vec(\varphi)(t;t_0,\vec(y)_0) $.Allora il grafico di $\vec(\varphi)$ esce da $D_0$ definitivamente per $t->T_min^(+)$ e per $t->T_max^(-)$.

Valgano le ipotesi del teorema precedente con $D=RR^(n+1)$.Se esistono due costanti $c_1>=0$ e $c_2>=0$ tali che $||\vec(\varphi)||<=c_1+c_2(t-t_0)$, $\forall t \in J_\vec(\varphi)^(+)=[t_0,T_max)$ allora $J_\vec(\varphi)^(+)=[t_0,+oo)$.In particolare ciò accade se $\vec(\varphi)$ è limitata in $J_\vec(\varphi)^(+)$.

Siano $\varphi,\phi$ funzioni definite in $[t_0,T]$ derivabili e tali che $dot(\varphi(t))

Se non ti reca disturbo potresti spiegarmi come fare a "usare" nel modo migliore questi teoremi?

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[mklplo751]

Avevo pensato a un'altra cosa,ma non so se va bene(in realtà ne dubito fortemente,ma non mi viene alto),secondo voi conviene usare il teorema di Dini o non arrivo da nessuna parte?

[mklplo751]

Allora per quanto riguarda l'esistenza e l'unicità locale,la differenziabilità basta(giusto?),poi da quello che ho capito,dato che il valore iniziale di $t \in (0,+oo)$ e dato che i teoremi di prolungabilità richiedono che la funzione sia definita su intervalli,non penso si possa prolungare su un insieme non connesso(giusto?) quindi escluderei $(-oo,0)$.Ora,per il primo teorema,la funzione deve essere definita in $[0,+oo)$,ma in $0$ non è definita,quindi $(0,+oo)$ non può essere l'intervallo massimale,e prendo come nuovo intervallo $ (\delta,+oo)$ dove $\delta >0$.Cambiando l'intervallo,posso prendere $k_1=1/delta+pi/2$ e $k_2>0$,e allora $\forall(t_0,y_0)$,la soluzione $\varphi(t;t_0,y_0)$ è definita in $[\delta,+oo)$.Però se dopo mi dice che esistono valori di $b$ che fanno si che l'intervallo massimale sia $(0,+oo)$ vuol dire che ho sbagliato qualcosa,ma non capisco cosa;inoltre non so come continuare l'esercizio.Se non vi reca disturbo,potreste darmi qualche spiegazione?

[mklplo751]

Ho scritto qualcosa di così sbagliato che nessuno vuole rispondere?

[gugo82]

Più che sbagliato, direi senza né capo né coda...

[mklplo751]

potresti spiegarmi in che senso?

[gugo82]

Nel senso che non si capisce proprio come tu voglia applicare i teoremi che hai citato e che, probabilmente, non hai compreso.

Tempo fa ho scritto diversi post sulle EDO e sullo studio qualitativo delle soluzioni.
Cercali, studiali e poi torna sul tuo problema.

[mklplo751]

Grazie,li cercherò.

[Sk_Anonymous]

"mklplo":Salve,ultimamente(dopo aver provato per più di un mese a non studiare cose che andassero oltre a quelle che andrebbero fatte alla mia età),ho incominciato a studiare le equazioni differenziali ordinarie e le condizioni di esistenze e unicità(locali e globali) delle soluzioni dei problemi di Cauchy [...]

Ottima idea, come quando uno cerca di non bere per un po' ma ad un certo punto cede, e si fa un bel bicchierone di benzina.

[mklplo751]

Ho cercato alcuni tuoi messaggi e in uno di questi ho trovato una dispensa che trattava l'argomento di esistenza,unicità e prolungabilità in modo più semplice.Per prima cosa vedo che la funzione $f(t,y)=tan^-1(y)-1/t$ è $C^1(IxxJ)$ dove $IxxJ=[1-a,1+a]xx{|y-b|<=c}$(dove $00$);inoltre la funzione è lipschitziana rispetto a $y$ con,quindi $\exists ! y:(1- \delta,1+delta)->J$($ \delta>0)$.Ora da quello che ho capito,dato che $f$ è definita su tutto $(v,+oo)xxRR$$(v>0)$,ed è continua, lipschitziana e dato che esistono due funzioni continue $A(t)>=0$ $B(t)>=0$ tale che $|f(t,y)|<=A(t)+|y|B(t)$,allora esiste un'unica soluzione definita in tutto $(v,+oo)$.
Per sapere,almeno questi passaggi sono corretti o ho fatto qualche altro errore?

[mklplo751]

"Delirium":
Ottima idea, come quando uno cerca di non bere per un po' ma ad un certo punto cede, e si fa un bel bicchierone di benzina.

In realtà ho solo ricominciato da dove mi ero fermato,cioè dallo studio dei problemi di Cauchy che si fa in analisi 2.

[mklplo751]

Ho poi provato a continuare lo studio della funzione ma mi è uscito un risultato "strano" e non so se sia corretto:
\( tan^{-1}(y)-\frac{1}{t}=0 \rightarrow y=tan(\frac{1}{t}) \rightarrow \dot{y}=0 \rightarrow y=b+\int_1^{t}0ds=b \) ora dato che Dato che la derivata si azzera allora $y$ ha un punto stazionario per $t=1$,inoltre quando la derivata prima si annulla anche la seconda si annulla e dopo qualche conto(sempre se sono corretti) mi risulta che tale punto è un punto di minimo.Ora,se ricordo bene,dato che la derivata si annulla in un solo punto(potrei pure aver sbagliato i conti e la derivata non si annulla in un solo punto) e dato che è punto di minimo segue che \( tan^{-1}(y)-\frac{1}{t}=0 \rightarrow y(t)=y(1) \rightarrow tan^{-1}(b)-1=0 \rightarrow b=tan(1) \).E quindi il problema di Cauchy si riduce allo studio del caso:
\( \begin{cases} \dot{y}=tan^{-1}(y)-\frac{1}{t} \\ y(1)=tan(1) \end{cases} \) (anche se secondo me l'errore l'ho fatto),poi dato che $y(1)=min(y(t))$ abbiamo che la funzione presenta una concavità verso l'alto,e sappiamo che se $y(t)>tan(1/t)$ allora $y(t)>tan(1)$ e se $y(t) p.s:ci ho pensato un attimo,molte delle cose che ho dato per scontato in realtà non lo sono,quindi tutti i conti sono sbagliati.Inoltre se fossero stati giusti le altre richieste sarebbero state insensate.Devo ancora pensare a come uscirmene,però vi sarei grato che mi aiutaste(ho provato a cercare degli studi ma o sono a le variabili sono separabili o le equazioni sono lineare,inoltre non ci sono fastidiosi parametri oppure non richiedono di trovare asintoti);ovviamente,sempre se non vi reca disturbo.

[mklplo751]

Ho continuato a leggere altre discussioni,ma veramente non capisco cosa fare.Se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi come fare?

[mklplo751]

Penso di aver fatto nel quarto post prima di questo quando ho dimostrato l'esistenza e l'unicità locale(giusto?).Ma per dimostrare l'esistenza si tutto $(0,+oo)$ posso procedere dimostrando che la soluzione esiste in ogni intervallo $[a,k]$($a>0$ e $k>0$)?
In che modo il valore di $b$ influenza l'intervallo massimale?
Una volta dimostrata l'esistenza sarebbe giusto affermare che dove $y>tan(1/t)$ la funzione è crescente,mentre dove $y Come dovrei procedere con lo studio?
Come determino il comportamento della derivata per $t->+oo$ in modo da poter trovare gli eventuali asintoti?
Se non vi reca disturbo,qualcuno,potrebbe aiutarmi,per favore?

[Bokonon]

@mklplo
Ammiro la volontà di andare avanti e scoprire cose nuove ma davvero sei così avanti da studiare eq. diff. non lineari?
Ok, magari vorresti analizzare il problema dal punto di vista teorico (come da problema) ma sei sicuro sicuro sicuro di non voler prima approfondire tutte le ODE e comprendere i teoremi in un ambito meno complicato?

[mklplo751]

Grazie per la risposta.
Non che non voglia,il punto è che tutti gli esercizi del libro sono equazioni non lineari(per quanto riguarda esistenza,unicità e prolungabilità) e non si possono separare le variabili(per non parlare che in tutti le condizioni iniziali dipendono da un parametro),quindi volevo provare a fare almeno il primo problema di Cauchy proposto(che sarebbe proprio questo problema).
Allora,domani,proverò a fare risolvere un problema di Cauchy lineare(ma non a variabili separabili) e provo a postarlo sperando che riesca a farlo bene e poi passo al problema originale(sempre se questo non va contro le regole del forum).

[gugo82]

"Il prof. Sergio Spagnolo, nell'Introduzione ad un suo testo,": Questo volume contiene tutti i problemi [...] assegnati agli esami scritti di Analisi II che ho tenuto a Pisa negli aa. aa. 1975/76, 1977/78, 1979/80, 1981/82 e 1983/84. [...]
I più significativi problemi di questo volume sono probabilmente quelli relativi alle equazioni differenziali e più precisamente allo studio qualitativo delle soluzioni. Sono, in genere, dei problemi che per la loro stessa natura non si prestano a soluzioni immediate, ma richiedono un impegno particolare e l'impiego di molte tecniche dell'Analisi. [...]
Credo che esercizi di questo tipo sulle equazioni differenziali [...] costituiscono in un certo senso la summa dell'Analisi Matematica [...]

Detto altrimenti, i problemi di studio qualitativo sono difficili.

[mklplo751]

Grazie per aver risposto,ma se sono così difficili i problemi,come ci si aspetta che uno studente di analisi 2 riesca a risolverli?