Problema di cauchy.......ci risiamo :(
ciao
dunque il problema di Cauchy oggetto delle mie parolacce (
) è il seguente:
$y'=(x+4)/(cos(y))$ a sistema con la condizione iniziale $y(0)=pi$
dopo una serie di calcoli (adottando il famigerato metodo Urang-Utang $F(x)=G(y)$) giungo alla ormai mia "amata"
forma:
$sen(y)=(x^2)/2+4x$ [spero sia esatta...controllate in ogni modo] dalla quale non riesco mai a ricavare con un metodo univoco la y(x)
qualcuno mi dice un metodo generale per arrivare alla forma y(x) da quella sen(y) (o cos(y) ecc....) ????
perche sono veramente in difficoltà quando incontro quella forma (e siccome mi capita tipo 2milioni di volte alla settimana sarebbe bene capire a fondo la faccenda
)
CIAO, merci!!!
dunque il problema di Cauchy oggetto delle mie parolacce (
) è il seguente:$y'=(x+4)/(cos(y))$ a sistema con la condizione iniziale $y(0)=pi$
dopo una serie di calcoli (adottando il famigerato metodo Urang-Utang $F(x)=G(y)$) giungo alla ormai mia "amata"
forma:$sen(y)=(x^2)/2+4x$ [spero sia esatta...controllate in ogni modo] dalla quale non riesco mai a ricavare con un metodo univoco la y(x)
qualcuno mi dice un metodo generale per arrivare alla forma y(x) da quella sen(y) (o cos(y) ecc....) ????
perche sono veramente in difficoltà quando incontro quella forma (e siccome mi capita tipo 2milioni di volte alla settimana sarebbe bene capire a fondo la faccenda
)CIAO, merci!!!
Risposte
Per esplicitare la $y$, si utilizza la funzione arcoseno. Poiché per rendere iniettiva la funzione seno si è ristretto il dominio di $\sin$ all'intervallo $[- \pi/2,pi/2]$,
$\arcsin : [-1,1] \to [- \pi/2,pi/2]$
e per soddisfare il dato di Cauchy $y(0) = \pi$ è necessaria una traslazione:
$y = \arcsin(\frac{x^2}{2} + 4x) + \pi$
$\arcsin : [-1,1] \to [- \pi/2,pi/2]$
e per soddisfare il dato di Cauchy $y(0) = \pi$ è necessaria una traslazione:
$y = \arcsin(\frac{x^2}{2} + 4x) + \pi$
si che si usa la forma $arcsin(....)$ lo so ma è proprio quel fatto della traslazione che non riesco a comprendere
cioè il mio quesito è:
si aggiunge $+pi$ solo perchè y(0)=$pi$ e quindi tipo se la condizione iniziale fosse stata $y(0)=89$ ad esempio la y finale sarebbe stata
$y=arcsin((x^2)/2+4x)+89$ o per qualche altro motivo???
e inoltre se la condizione iniziale non fosse in 0 ma in un altro punto, ad esempio $y(3)=pi$ come si procederebbe???
inoltre il dominio della funzione da te scritta come si calcola??? ponendo $-1
....voglio vederci chiaro....GRAZIE 
cioè il mio quesito è:
si aggiunge $+pi$ solo perchè y(0)=$pi$ e quindi tipo se la condizione iniziale fosse stata $y(0)=89$ ad esempio la y finale sarebbe stata
$y=arcsin((x^2)/2+4x)+89$ o per qualche altro motivo???
e inoltre se la condizione iniziale non fosse in 0 ma in un altro punto, ad esempio $y(3)=pi$ come si procederebbe???
inoltre il dominio della funzione da te scritta come si calcola??? ponendo $-1
....voglio vederci chiaro....GRAZIE
"mikelozzo":No, non avresti dovuto aggiungere 89.
si che si usa la forma $arcsin(....)$ lo so ma è proprio quel fatto della traslazione che non riesco a comprendere
cioè il mio quesito è:
si aggiunge $+pi$ solo perchè y(0)=$pi$ e quindi tipo se la condizione iniziale fosse stata $y(0)=89$ ad esempio la y finale sarebbe stata
$y=arcsin((x^2)/2+4x)+89$ o per qualche altro motivo???
Dovevi capire chi è l'inversa di $sin\ x$ da usare. Ti devi restringere all'intervallo di ampiezza pigreco (e che è una opportuna traslazione dell'intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$) che contiene 89 su cui $sin$ è invertibile. Se non ho sbagliato i conti, 89 sta nell'intervallo $[\pi/2 + 27 \cdot \pi, \pi/2 + 28 \cdot \pi].
L'inversa sarà una appropriata traslazione verticale di $\arcsin$ o di $- \arcsin$. MI pare venga $-\arcsin t + 27 \pi$.
NB: nel tuo caso la funzione inversa da usare è $-arcsin\ t + \pi$, non $arcsin\ t + \pi$, come detto da 5InGold.
Magari gli es. 4 e 5 a pag. 8-11 dei miei appunti potrebbero essere utili. In particolare il grafico di pag. 9. Il problema dato non è lo stesso tuo, ma le difficoltà sono le stess. I miei appunti sono naturalmente quelli dove si parla (anche) di urang-utang:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
sono sempre piu confuso..... 
allora io in pratica devo trovare un intervallo opportuno che sia praticamente in totale della larghezza di $pi$
ma su che base lo vado a calcolare??? come faccio a capire quale intervallo prendere???
Dai suoi appunti, ho capito solo una cosa (ovviamente non a causa sua ma per demerito mio 
): che il fatto di scegliere la funz. inversa con il segno + o - è dovuto all'intervallo; tra l'altro non mi è chiara una cosa...leggendo l'esercizio nel caso della tangente l'intervallo è dato una volta da $]2h_0pi;(2h_0+1)pi[$ e una volta da $](2h_0-1)pi;2h_0[$ ......a cosa è dovuto quel + o - 1??? non mi potrebbe fare uno schemino veloce di come invertire le funzioni e della relativa restrizione degli intervalli...un qualcosa di teoria generale da applicare nella pratica degli esercizi perchè ho cercato su molti libri e non trovo nulla a riguardo ...la ringrazio anticipatamente del suo tempo prezioso che mi dedica e che dedica a tutti noi...spero di non recarle troppo disturbo
thanks
michy
allora io in pratica devo trovare un intervallo opportuno che sia praticamente in totale della larghezza di $pi$
ma su che base lo vado a calcolare??? come faccio a capire quale intervallo prendere???
Dai suoi appunti, ho capito solo una cosa (ovviamente non a causa sua ma per demerito mio
): che il fatto di scegliere la funz. inversa con il segno + o - è dovuto all'intervallo; tra l'altro non mi è chiara una cosa...leggendo l'esercizio nel caso della tangente l'intervallo è dato una volta da $]2h_0pi;(2h_0+1)pi[$ e una volta da $](2h_0-1)pi;2h_0[$ ......a cosa è dovuto quel + o - 1??? non mi potrebbe fare uno schemino veloce di come invertire le funzioni e della relativa restrizione degli intervalli...un qualcosa di teoria generale da applicare nella pratica degli esercizi perchè ho cercato su molti libri e non trovo nulla a riguardo ...la ringrazio anticipatamente del suo tempo prezioso che mi dedica e che dedica a tutti noi...spero di non recarle troppo disturbo thanks
michy
ok, dammi un po' di tempo 
ne approfitto per aggiungere due note agli appunti in rete.
Ma secondo me è solo un blocco "psycho", vedrai che è molto semplice il tutto! Nel frattempo potesti provare a farti un grafico di $\sin\ x$, diciamo almeno per $x \in [-3\pi,3\pi]$. Lo disegni calcato su un fogliio abbastanza sottile e poi lo guardi dal retro: vedrai dei pezzi di $\arcsin$ e di $-\arcsin$ impilati uno sopra l'altro, traslati di opportuni multipli di $\pi$.
PS: quanto ai ringaziamenti, ti ringazio a mia volta. Ma sappi che lo faccio solo per non dovermi vergognare con mio figlio quando gli dico che lavoro faccio.
ne approfitto per aggiungere due note agli appunti in rete.
Ma secondo me è solo un blocco "psycho", vedrai che è molto semplice il tutto! Nel frattempo potesti provare a farti un grafico di $\sin\ x$, diciamo almeno per $x \in [-3\pi,3\pi]$. Lo disegni calcato su un fogliio abbastanza sottile e poi lo guardi dal retro: vedrai dei pezzi di $\arcsin$ e di $-\arcsin$ impilati uno sopra l'altro, traslati di opportuni multipli di $\pi$.
PS: quanto ai ringaziamenti, ti ringazio a mia volta. Ma sappi che lo faccio solo per non dovermi vergognare con mio figlio quando gli dico che lavoro faccio.
grazie 1000...tutto il tempo che le serve...un attimo che provo a fare questo compitino che mi ha dato..
PS: non credo che una persona cosi gentile e disponibile debba vergognarsi...anzi...ce ne fossero come lei!!!! le assicuro che suo figlio è fortunato..ha un buon padre (anche io non mi posso lamentare a dire il vero ringraziando il cielo ); l''unico problema per suo figlio è che, con un padre matematico........ avrà sempre dei $lim$iti
hahahahahahahahahahahahahHAHAhAHAhahahahshsuashahsushahahahahahahahahahahah
PS: non credo che una persona cosi gentile e disponibile debba vergognarsi...anzi...ce ne fossero come lei!!!! le assicuro che suo figlio è fortunato..ha un buon padre (anche io non mi posso lamentare a dire il vero ringraziando il cielo
); l''unico problema per suo figlio è che, con un padre matematico........ avrà sempre dei $lim$itihahahahahahahahahahahahahHAHAhAHAhahahahshsuashahsushahahahahahahahahahahah
Ti propongo questo metodo alternativo , meno veloce ma più meccanico, rispetto a quello proposto nelle precedenti risposte.
Partiamo dall'integrale generale dell'equazione differenziale, espresso implicitamente dall'equazione:
$ siny = x^2/2+4x+c$ [1]
Alle superiori avrai studiato che l'equazione $sinx = a$ , equivale a : $ x= arcsina+2kpi $ oppure $x = pi-arcsina+2kpi.
Dunque da segue:
$y = arcsin(x^2/2+4x+c)+2kpi$ [2]
oppure
$y = pi-arcsin(x^2/2+4x+c)+2kpi$ [3]
Per risolvere il problema di Cauchy assegnato devi trovare i valori opportuni di c e di k, potendo c variare in R mentre k deve essere un intero. Procediamo con ordine:
a. Vediamo se esistono soluzioni del problema di cauchy della forma [2]. Imponendo la condizione $ y(0)=pi $ si giunge a:
$pi=arcisin(c)+2kpi$,
ossia
$ arcsin(c)=pi(1-2k)$ [4]
Dobbiamo ricordare ora che il codominio della funzione arcoseno è $[-pi/2,pi/2]$, dunque la [4] avrà soluzioni se e solo se:
$-pi/2<=pi(1-2k)<=pi/2$
Risolvendo quest'ultimo sistema di disequazioni trovi $1/4<=k<=3/4$, ma k deve essere intero: ciò è impossibile, quindi la [4] non ha soluzioni e possiamo concludere che non esistono soluzioni del nostro problema di cauchy della forma [2]. Cerchiamo allora una soluzione della forma [3].
b. Imponendo la condizione $ y(0)=pi $ si giunge a:
$pi=pi-arcsin(c)+2kpi$
ossia:
$arcsin(c)=2kpi$ [5]
Imponendo la condizione $-pi/2<=2kpi<=pi/2$, troviamo questa volta come soluzione $-1/4<=k<=1/4$; l'unica possibilità con k intero è k = 0; per k = 0 la [5] diventa $arcsin(c)=0$ che ha come unica soluzione c=0. Quindi la soluzione del nostro problema di cauchy è la [3] con k = 0 e c =0, cioè:
$ y = pi-arcsin(x^2+4x)$
E come vedi abbiamo ritrovato la soluzione corretta (sbagliata quella di 5in gold).
Puoi applicare un procedimento analogo nel caso che cambi il dato iniziale. Prova per esempio con la condizione $ y(0)=5pi $ per vedere se hai capito .
Partiamo dall'integrale generale dell'equazione differenziale, espresso implicitamente dall'equazione:
$ siny = x^2/2+4x+c$ [1]
Alle superiori avrai studiato che l'equazione $sinx = a$ , equivale a : $ x= arcsina+2kpi $ oppure $x = pi-arcsina+2kpi.
Dunque da
oppure
$y = pi-arcsin(x^2/2+4x+c)+2kpi$ [3]
Per risolvere il problema di Cauchy assegnato devi trovare i valori opportuni di c e di k, potendo c variare in R mentre k deve essere un intero. Procediamo con ordine:
a. Vediamo se esistono soluzioni del problema di cauchy della forma [2]. Imponendo la condizione $ y(0)=pi $ si giunge a:
$pi=arcisin(c)+2kpi$,
ossia
$ arcsin(c)=pi(1-2k)$ [4]
Dobbiamo ricordare ora che il codominio della funzione arcoseno è $[-pi/2,pi/2]$, dunque la [4] avrà soluzioni se e solo se:
$-pi/2<=pi(1-2k)<=pi/2$
Risolvendo quest'ultimo sistema di disequazioni trovi $1/4<=k<=3/4$, ma k deve essere intero: ciò è impossibile, quindi la [4] non ha soluzioni e possiamo concludere che non esistono soluzioni del nostro problema di cauchy della forma [2]. Cerchiamo allora una soluzione della forma [3].
b. Imponendo la condizione $ y(0)=pi $ si giunge a:
$pi=pi-arcsin(c)+2kpi$
ossia:
$arcsin(c)=2kpi$ [5]
Imponendo la condizione $-pi/2<=2kpi<=pi/2$, troviamo questa volta come soluzione $-1/4<=k<=1/4$; l'unica possibilità con k intero è k = 0; per k = 0 la [5] diventa $arcsin(c)=0$ che ha come unica soluzione c=0. Quindi la soluzione del nostro problema di cauchy è la [3] con k = 0 e c =0, cioè:
$ y = pi-arcsin(x^2+4x)$
E come vedi abbiamo ritrovato la soluzione corretta (sbagliata quella di 5in gold).
Puoi applicare un procedimento analogo nel caso che cambi il dato iniziale. Prova per esempio con la condizione $ y(0)=5pi $ per vedere se hai capito .
WOW....sono rimasto estasiato da tanta chiarezza.....chiunque tu sia....sei un GENIO!!!!!!
GRAZIE
GRAZIE
GRAZIE
$+infty$
facciamo cosi...cerco di trovare un problema di cauchy simile.....e cerco di derivarmi la $y(x)$ cosi mi correggete se sbaglio e io capisco se ho capito (scusate il gioco di parole...XD)
GRAZIE
GRAZIE
GRAZIE
$+infty$
facciamo cosi...cerco di trovare un problema di cauchy simile.....e cerco di derivarmi la $y(x)$ cosi mi correggete se sbaglio e io capisco se ho capito (scusate il gioco di parole...XD)
Grazie a sylowww per avermi risparmiato un po' di ticchettio sulla tastiera stasera! E complimenti anche da parte mia per la chiarezza.
Che quelle cose siano state imparate alle superiori e, sopattutto, assimilate ho qualche dubbio
Su mio figlio (che è lontano mille miglia da mate!) e la vergogna, era un cenno un poco (ma proprio poco) polemico nei confronti dei deliri dal Ministro Brunetta.
Che quelle cose siano state imparate alle superiori e, sopattutto, assimilate ho qualche dubbio
Su mio figlio (che è lontano mille miglia da mate!) e la vergogna, era un cenno un poco (ma proprio poco) polemico nei confronti dei deliri dal Ministro Brunetta.
Che quelle cose siano state imparate alle superiori e, sopattutto, assimilate ho qualche dubbio
per la mia prof del liceo (con tutto il rispetto) questo è arabo!!!!
i deliri del Ministro Brunetta
non si dovrebbe fare politica qui, però in effetti "quando ce vo, CE VO!!!"
ciauzzzzzz...
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