Problema di Cauchy - Studio qualitativo

[Sk_Anonymous]

Ho appena iniziato lo studio delle equazioni differenziali e ho parecchi dubbi intorno al seguente esercizio:
Si consideri il seguente Problema di Cauchy \[\displaystyle \begin{cases} y'=(y^2 -1)(y^2 +x^2) =f(x,y) \\ y(0)=y_{0} \end{cases} \] dove \(\displaystyle y_{0} \in \mathbb{R} \).

i) Dimostrare che il problema ha un'unica soluzione massimale;
ii) Provare che per \(\displaystyle y_{0}=0 \) si ha \(\displaystyle y(x)=-x^3 /3 + O(x^5) \);
iii) Provare che per \(\displaystyle |y_{0}|<1 \) la soluzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \);
iv) Provare che per \(\displaystyle y_{0}>1 \) la soluzione non è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \).

Comincio con l'\(\displaystyle n \)-alogo dei dubbi:
(i) Qui ho che \(\displaystyle f \in \mathcal{C^\infty}(\mathbb{R^2}) \) quindi \(\displaystyle f \) è localmente lipschitziana in un intorno di \(\displaystyle x=0 \); dovrei essere nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale e quindi dovrei poter dire che ho soluzione unica almeno su \(\displaystyle [-\delta, \delta] \) per \(\displaystyle \delta>0 \). Basta questo? Cosa dire della massimalità?
Tuttavia \(\displaystyle f \) non soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale perché cresce in modo più che lineare in \(\displaystyle y \), quindi sulla soluzione globale non posso per ora dire nulla.

(ii) Ci sto lavorando - in sospeso.

(iii) Ho studiato brevemente \(\displaystyle f \) e mi sono reso conto che si ha \(\displaystyle f>0 \) per \(\displaystyle y<-1 \, \vee \, y>1 \) quindi ho considerato un piano \(\displaystyle yx \) e l'ho ripartito in tre "zone", delimitate dalle rette \(\displaystyle y=1 \) e \(\displaystyle y=-1 \). In particolare la mia soluzione sarà decrescente nella striscia \(\displaystyle S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, -11 \} \) e \(\displaystyle C_{2}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, y<-1 \} \).
Ora, se \(\displaystyle |y_{0}|<1 \) sono appunto all'interno di \(\displaystyle S \). La mia soluzione deve rimanere intrappolata lì dentro (se ne uscisse dovrebbe farlo in "maniera unicamente crescente", il che è assurdo perché \(\displaystyle y \) è almeno \(\displaystyle \mathcal{C}^1 \)), ed avrà come asintoti orizzontali proprio le due rette di cui sopra. Anche da un grafico si evince come le cose debbano andare così, ma non riesco a formalizzare il ragionamento.

(iv) Qui sono in \(\displaystyle C_{1} \). Vorrei provare che esiste un certo \(\displaystyle x_{0}>0 \) t.c. \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} y=+\infty \) ma non ci riesco. L'idea è corretta?

Ringrazio.

[Rigel1]

"Delirium":Ho appena iniziato lo studio delle equazioni differenziali e ho parecchi dubbi intorno al seguente esercizio:
Si consideri il seguente Problema di Cauchy \[\displaystyle \begin{cases} y'=(y^2 -1)(y^2 +x^2) =f(x,y) \\ y(0)=y_{0} \end{cases} \] dove \(\displaystyle y_{0} \in \mathbb{R} \).

i) Dimostrare che il problema ha un'unica soluzione massimale;
ii) Provare che per \(\displaystyle y_{0}=0 \) si ha \(\displaystyle y(x)=-x^3 /3 + O(x^5) \);
iii) Provare che per \(\displaystyle |y_{0}|<1 \) la soluzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \);
iv) Provare che per \(\displaystyle y_{0}>1 \) la soluzione non è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \).

Comincio con l'\(\displaystyle n \)-alogo dei dubbi:
(i) Qui ho che \(\displaystyle f \in \mathcal{C^\infty}(\mathbb{R^2}) \) quindi \(\displaystyle f \) è localmente lipschitziana in un intorno di \(\displaystyle x=0 \); dovrei essere nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale e quindi dovrei poter dire che ho soluzione unica almeno su \(\displaystyle [-\delta, \delta] \) per \(\displaystyle \delta>0 \). Basta questo? Cosa dire della massimalità?
Tuttavia \(\displaystyle f \) non soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale perché cresce in modo più che lineare in \(\displaystyle y \), quindi sulla soluzione globale non posso per ora dire nulla.

Se hai esistenza e unicità locale su tutto il piano, hai anche l'unicità della soluzione massimale (indipendentemente dal fatto che questa sia definita su tutto \(\mathbb{R}\) o meno).

(ii) Ci sto lavorando - in sospeso.

Tieni conto, ad esempio, del fatto che
\[
y''(x) = \frac{d}{dx} f(x, y(x)) = f_x(x, y(x)) + f_y(x,y(x)) y'(x)
\]
e analogamente si ragiona per le derivate successive.

(iii) Ho studiato brevemente \(\displaystyle f \) e mi sono reso conto che si ha \(\displaystyle f>0 \) per \(\displaystyle y<-1 \, \vee \, y>1 \) quindi ho considerato un piano \(\displaystyle yx \) e l'ho ripartito in tre "zone", delimitate dalle rette \(\displaystyle y=1 \) e \(\displaystyle y=-1 \). In particolare la mia soluzione sarà decrescente nella striscia \(\displaystyle S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, -11 \} \) e \(\displaystyle C_{2}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, y<-1 \} \).
Ora, se \(\displaystyle |y_{0}|<1 \) sono appunto all'interno di \(\displaystyle S \). La mia soluzione deve rimanere intrappolata lì dentro (se ne uscisse dovrebbe farlo in "maniera unicamente crescente", il che è assurdo perché \(\displaystyle y \) è almeno \(\displaystyle \mathcal{C}^1 \)), ed avrà come asintoti orizzontali proprio le due rette di cui sopra. Anche da un grafico si evince come le cose debbano andare così, ma non riesco a formalizzare il ragionamento.

Ok per \(|y_0| < 1\): le soluzioni rimangono incastrate fra le due soluzioni particolari \(y(x) = \pm 1\).

(iv) Qui sono in \(\displaystyle C_{1} \). Vorrei provare che esiste un certo \(\displaystyle x_{0}>0 \) t.c. \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} y=+\infty \) ma non ci riesco. L'idea è corretta?

Hai già dimostrato che, se \(y_0>1\), la soluzione è monotona crescente. Avrai che, ad esempio,
\[
y'(x) \geq c y(x)^2,\qquad
c := y_0^2 - 1 > 0,
\]
e questo dovrebbe bastarti.

[Sk_Anonymous]

Mentre ero sotto la doccia mi è venuta l'idea per il punto (ii):
Non badando troppo alle costanti si ha \[\displaystyle y=\int_{0}^{x} y' \; dt = \int_{0}^{x} [y^4 + t^2 y^2 - y^2 -t ^2] \; dt=\begin{matrix} \underbrace{\int_{0}^{x}[y^4 + t^2 y^2 - y^2] \; dt}_{= g(x)} \end{matrix}-\frac{x^3}{3} \] Alla luce di quanto ho ottenuto - ossia che per \(\displaystyle x \to 0 \quad y \sim -x^3 /3 \) - , considerando poi che \(\displaystyle y \) continua e \(\displaystyle y(0)=0 \) dovrei poter affermare senza troppi problemi che \[\displaystyle g(x)=O(x^5) \] (e forse, così a occhio, è addirittura di ordine superiore).

"Rigel":[...]
Hai già dimostrato che, se \(y_0>1\), la soluzione è monotona crescente. Avrai che, ad esempio,
\[
y'(x) \geq c y(x)^2,\qquad
c := y_0^2 - 1 > 0,
\]
e questo dovrebbe bastarti.

Mmm... Vediamo: intanto noto che se \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} \, y(x)=+\infty \] dev'essere \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} \, y'(x)=+\infty \] e questo è proprio in accordo con i dati. Del resto se \(\displaystyle x_{0} \) fosse soltanto un punto di flesso a tangente verticale avrei \(\displaystyle y'(x_{0} + \delta) < y'(x_{0} + \delta/2) \) con \(\displaystyle \delta >0 \) mentre invece anche \(\displaystyle y' \) è monotona crescente - infatti si ha \[\displaystyle y'' = 2yy' (y^2 + x^2) + (2x + 2yy')(y^2 -1 )y^2>0 \quad \text{per} \quad x>0 \]
Questo ragionamento però non mostra l'esistenza di un siffatto punto (- dal punto di vista euristico me ne sono già convinto, ma non trovo un argomento schiacciante che non sia l'escludere i casi \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, y= +\infty \ \vee \ \lambda\)).

[Sk_Anonymous]

Rig?

[Rigel1]

Ero convinto di avere risposto, e invece no
Riguardo all'ordine di infinitesimo, per stimare \(g\) devi usare almeno anche il fatto che \(y'(0) = 0\) (oltre a \(y(0)=0\)).
Per l'esplosione in tempo finito: poiché \(y'(x) \geq c y(x)^2\), allora \(y(x) \geq z(x)\), dove \(z(x)\) è la soluzione del problema di Cauchy \(z' = c z^2\), \(z(0) = y_0\) (puoi provare a dimostrare questo fatto, che rientra comunque nei teoremi relativi alle disuguaglianza differenziali). Questo ultimo problema di Cauchy può essere risolto esplicitamente; in particolare vedi che \(z\) esplode (a \(+\infty\)) in tempo finito, quindi anche \(y\) è costretta a farlo.