Problema di cauchy soluzione locale o globale?
Salve sto da tre giorni per cercare di risolvere questo problema cioè se io ho un problema di cauchy come faccio a capire se la soluzione è locale o globale?
mi spiego io ho il problema
y'=f(x,y)
y(xo)=yo
come faccio a dire se la soluzione è globale o locale?
vi posto 2 problemi:
y'=y^2
y(0)=1
arcsin(y'+x)=sqrt(x+y)-y'
y(0)=1
prof di matematica aiutatemi!!!!!!!
mi spiego io ho il problema
y'=f(x,y)
y(xo)=yo
come faccio a dire se la soluzione è globale o locale?
vi posto 2 problemi:
y'=y^2
y(0)=1
arcsin(y'+x)=sqrt(x+y)-y'
y(0)=1
prof di matematica aiutatemi!!!!!!!
Risposte
Non entro nei formalismi...ma probabilmente per soluzione globale si intende una $y(x)$ definita su tutto $RR$
Quoto Elwood: nel mio corso di Equazioni Differenziali abbiamo chiamato tali soluzioni indifferentemente globali o massimali.
Per il primo pb. di Cauchy: risolvi esplicitamente l'equazione differenziale $y'=y+1$ (ad esempio, per variabili separabili). Trovi $y(t)=c*e^t-1$ (con $c$ costante di integrazione). Poi imponi che $y(o)=c-1=1$, da cui $c=2$. In definitiva, l'unica soluzione del tuo pb. di Cauchy è $y(t)=2e^t-1$, che è definita su tutto $RR$.
Per il primo pb. di Cauchy: risolvi esplicitamente l'equazione differenziale $y'=y+1$ (ad esempio, per variabili separabili). Trovi $y(t)=c*e^t-1$ (con $c$ costante di integrazione). Poi imponi che $y(o)=c-1=1$, da cui $c=2$. In definitiva, l'unica soluzione del tuo pb. di Cauchy è $y(t)=2e^t-1$, che è definita su tutto $RR$.
Ma il primo non è:
${(y'=y^2),(y(0)=1):}$
da cui: $-1/y = x+c$ che non è definita su tutto $RR$???
${(y'=y^2),(y(0)=1):}$
da cui: $-1/y = x+c$ che non è definita su tutto $RR$???
"matths87":
Quoto Elwood: nel mio corso di Equazioni Differenziali abbiamo chiamato tali soluzioni indifferentemente globali o massimali.
Al di là della terminologia usata nel tuo corso, è opportuno a mio parere tenere presente che i due concetti: "massimale" e "globale" sono distinti.
Una soluzione è massimale se non è prolungabile come soluzione.
Una soluzione è globale se è definita "sul più grosso insieme che abbia senso immaginare", visto l'insieme di def della f. Quando si fanno discorsi su soluzioni "globali", tipicamente si assume che la f sia definita su una "striscia verticale" e una soluzione sarà globale se è definita su tutta la "base" della striscia. Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
PS: corretto, grazie Gugo
"Fioravante Patrone":
Va da sé che una soluzione globale non può essere definita e quindi è massimale.
Typo?
Credo volessi dire prolungata, no?
"Gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"]Va da sé che una soluzione globale non può essere definita e quindi è massimale.
Typo?
Credo volessi dire prolungata, no?[/quote]
Sì, ho corretto, grazie.
allora premetto che noi nel corso non abbiamo mai parlato di soluzioni masimali nè di prolungabilità delle soluzioni, cosa che invece ho trovato sui libri e che non riesco a capire quindi se qualcuno di voi potrebbe spiegarmelo ve ne sarei grata!!!!
poi il 1 problema di cauchy ha soluzione y(x)=1/1-x per x appartenete a (-00,1) quindi posso dire che la soluzione è locale perke l'insieme di definizione della f(x,y) è R^2 giusto?
Il problema è che l'ulteriore teorema di esistenza ed unicita globale( che a parere della prof è utile per gli eserczi)ho le seguenti ipotesi
1)f(,x,y)definita e continua nella striscia
2)f(x,y)limitata nella striscia
3)derivata parz di f rispetto ad y è continua nella striscia,
dove la striscia è semplicemente un insieme fatto in questo modo: (x,y): a<=x=>b;y app.R
ma negli esercizi io non ho sempre f(x,y) definita in una striscia anzi quasi mai, per esempio quando la funzione f(x,y) è definita in R^2 avrò che la soluzione del problema è globale solo se essa è definita in tutto R^2?e qui la striscia dove sta se ho tutto r^2
help me c'è qualcosa che non ho capito ma non riesco a capire dove sbaglio
lo so che forse sta domanda per alcuni può sembrare ovvia: ma perkè la base della striscia è un intervallo chiuso e limitato, cioè se considero un intervallo aperto posso ancora parlare di striscia?
Scusate lo sclero ma non sò come risolvere questo mio dubbio
P.S.nessuno sa dirmi niente sul secondo problema che ho postato
poi il 1 problema di cauchy ha soluzione y(x)=1/1-x per x appartenete a (-00,1) quindi posso dire che la soluzione è locale perke l'insieme di definizione della f(x,y) è R^2 giusto?
Il problema è che l'ulteriore teorema di esistenza ed unicita globale( che a parere della prof è utile per gli eserczi)ho le seguenti ipotesi
1)f(,x,y)definita e continua nella striscia
2)f(x,y)limitata nella striscia
3)derivata parz di f rispetto ad y è continua nella striscia,
dove la striscia è semplicemente un insieme fatto in questo modo: (x,y): a<=x=>b;y app.R
ma negli esercizi io non ho sempre f(x,y) definita in una striscia anzi quasi mai, per esempio quando la funzione f(x,y) è definita in R^2 avrò che la soluzione del problema è globale solo se essa è definita in tutto R^2?e qui la striscia dove sta se ho tutto r^2
help me c'è qualcosa che non ho capito ma non riesco a capire dove sbaglio
lo so che forse sta domanda per alcuni può sembrare ovvia: ma perkè la base della striscia è un intervallo chiuso e limitato, cioè se considero un intervallo aperto posso ancora parlare di striscia?
Scusate lo sclero ma non sò come risolvere questo mio dubbio
P.S.nessuno sa dirmi niente sul secondo problema che ho postato
"maggiep":
allora premetto che noi nel corso non abbiamo mai parlato di soluzioni masimali nè di prolungabilità delle soluzioni, cosa che invece ho trovato sui libri e che non riesco a capire quindi se qualcuno di voi potrebbe spiegarmelo ve ne sarei grata!!!!
poi il 1 problema di cauchy ha soluzione y(x)=1/1-x per x appartenete a (-00,1) quindi posso dire che la soluzione è locale perke l'insieme di definizione della f(x,y) è R^2 giusto?
La soluzione che tu indichi, e che è la soluzione massimale, non è globale.
"maggiep":
Il problema è che l'ulteriore teorema di esistenza ed unicita globale( che a parere della prof è utile per gli eserczi)ho le seguenti ipotesi
1)f(,x,y)definita e continua nella striscia
2)f(x,y)limitata nella striscia
3)derivata parz di f rispetto ad y è continua nella striscia,
dove la striscia è semplicemente un insieme fatto in questo modo: (x,y): a<=x=>b;y app.R
ma negli esercizi io non ho sempre f(x,y) definita in una striscia anzi quasi mai, per esempio quando la funzione f(x,y) è definita in R^2 avrò che la soluzione del problema è globale solo se essa è definita in tutto R^2?e qui la striscia dove sta se ho tutto r^2
help me c'è qualcosa che non ho capito ma non riesco a capire dove sbaglio
NB: per le ipotesi che citi, bastano 1 e 2 oppure 1 e 3.
Capisco il tuo problema sulle strisce.
Normalmente il teorema è enunciato usando come "base" un intervallo chiuso. Poi lo si estende al caso degli intervalli aperti (inclusi quelli non limitati), con una procedura standard (la stessa che permette di dimostrare che la soluzione di una equazione differenziale lineare è definita sull'intervallo I se su I i coefficienti sono continui).
"maggiep":
lo so che forse sta domanda per alcuni può sembrare ovvia: ma perkè la base della striscia è un intervallo chiuso e limitato, cioè se considero un intervallo aperto posso ancora parlare di striscia?
Scusate lo sclero ma non sò come risolvere questo mio dubbio
Per me sì. Per me una striscia è il prodotto cartesiano fra un intervallo ed $RR$. Ma vedi anche un pèo' la terminologia in uso da parte del* prof*.
in parole povere una soluzione massimale indica che la soluzione è prolungabile in qualsiasi intervallo di definizione, e puntualmente corrisponde punto a punto in qualsiasi intervallo (prendila con le pinze)
Con le soluzioni massimali però vale il teorema di esistenza (Peano) e unicità della soluzione (Cauchy).
Con le soluzioni massimali però vale il teorema di esistenza (Peano) e unicità della soluzione (Cauchy).
"ELWOOD":
in parole povere una soluzione massimale indica che la soluzione è prolungabile in qualsiasi intervallo di definizione, e puntualmente corrisponde punto a punto in qualsiasi intervallo (prendila con le pinze)
ELWOOD, vorrei obiettare, ma preferirei che tu riflettessi un momento sul tuo tentativo di "volgarizzare" la definizione di soluzione massimale. Io trovo la prima parte poco chiara, e per la seconda non riesco a immaginare che cosa tu intenda dire.
ancora non ho capito bene la soluzione massimale , cioè Fioravante mi scrive
Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
da ciò capisco che una soluzione massimale è anche globale però mi rendo conto che non è così quando poi lei mi scrive:
La soluzione che tu indichi, e che è la soluzione massimale, non è globale, quindi sbaglio quando dico che la soluzione del problema di cauchy è locale?
inoltre vedendo da vari libri ho capito che per dire che una soluzione è prolungabile si deve verificare ciò
che se io ho due sluzioni y1 deinita in I e un'altra soluzione definita in J se I è contenuta in J ED y1(x)=y2(x) PER OGNI X APP. AD I
allora la soluzione y2 è prolungamento della soluzione y1
e gia questa definizione non mi è chiarissima perkè se io risolvo un problema di cauchy "di solito" ottengo un'unica soluzione e come faccio a dire se è prolungabile o meno ed inoltre da come voi dite se una soluzione è prolungabile non è massimale e non è nemmeno globale?
lo so che forse sto facedno una confusione pazzesca ma sembra che più studio questo argomento è più non lo capisco!!!!!!!!!
Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
da ciò capisco che una soluzione massimale è anche globale però mi rendo conto che non è così quando poi lei mi scrive:
La soluzione che tu indichi, e che è la soluzione massimale, non è globale, quindi sbaglio quando dico che la soluzione del problema di cauchy è locale?
inoltre vedendo da vari libri ho capito che per dire che una soluzione è prolungabile si deve verificare ciò
che se io ho due sluzioni y1 deinita in I e un'altra soluzione definita in J se I è contenuta in J ED y1(x)=y2(x) PER OGNI X APP. AD I
allora la soluzione y2 è prolungamento della soluzione y1
e gia questa definizione non mi è chiarissima perkè se io risolvo un problema di cauchy "di solito" ottengo un'unica soluzione e come faccio a dire se è prolungabile o meno ed inoltre da come voi dite se una soluzione è prolungabile non è massimale e non è nemmeno globale?
lo so che forse sto facedno una confusione pazzesca ma sembra che più studio questo argomento è più non lo capisco!!!!!!!!!
"Fioravante Patrone":
ELWOOD, vorrei obiettare, ma preferirei che tu riflettessi un momento sul tuo tentativo di "volgarizzare" la definizione di soluzione massimale. Io trovo la prima parte poco chiara, e per la seconda non riesco a immaginare che cosa tu intenda dire.
Era molto prevedibile che dalla mia definizione a qualche matematico sia venuta la pelle d'oca e me ne scuso.
Ho preavvisato però di accettare con cautela la mia definizione, non mi ricordo esattamente i formalismi ma ho provato in qualche maniera a dare un' idea del concetto vista la domanda dell'interessato.
Questo mio sforzo di buona volontà non è stato gradito da qualcuno per questo mi faccio da parte in questa discussione.
@ ELWOOD:
ELWOOD, vorrei obiettare, ma preferirei che tu riflettessi un momento sul tuo tentativo di "volgarizzare" la definizione di soluzione massimale. Io trovo la prima parte poco chiara, e per la seconda non riesco a immaginare che cosa tu intenda dire.[/quote]
La frase citata da FP è scritta male, perciò non rende affatto giustizia alle tue idee circa l'argomento.
Su questo forum, e soprattutto in questa stanza, nessuno mette in dubbio le conoscenze degli altri.
Una critica, seppure aspra, non va mai intesa come offesa, ma va accettata, meditata, capita e (se è il caso) si risponde esponendo le proprie ragioni.
La tua risposta piccata ed il tuo ritirarti dalla discussione (come se qualcuno ti avesse offeso mortalmente) sono del tutto fuori luogo.
"Fioravante Patrone":
[quote="ELWOOD"]in parole povere una soluzione massimale indica che la soluzione è prolungabile in qualsiasi intervallo di definizione, e puntualmente corrisponde punto a punto in qualsiasi intervallo (prendila con le pinze)
ELWOOD, vorrei obiettare, ma preferirei che tu riflettessi un momento sul tuo tentativo di "volgarizzare" la definizione di soluzione massimale. Io trovo la prima parte poco chiara, e per la seconda non riesco a immaginare che cosa tu intenda dire.[/quote]
"ELWOOD":
Era molto prevedibile che dalla mia definizione a qualche matematico sia venuta la pelle d'oca e me ne scuso.
Ho preavvisato però di accettare con cautela la mia definizione, non mi ricordo esattamente i formalismi ma ho provato in qualche maniera a dare un' idea del concetto vista la domanda dell'interessato.
Questo mio sforzo di buona volontà non è stato gradito da qualcuno per questo mi faccio da parte in questa discussione.
La frase citata da FP è scritta male, perciò non rende affatto giustizia alle tue idee circa l'argomento.
Su questo forum, e soprattutto in questa stanza, nessuno mette in dubbio le conoscenze degli altri.
Una critica, seppure aspra, non va mai intesa come offesa, ma va accettata, meditata, capita e (se è il caso) si risponde esponendo le proprie ragioni.
La tua risposta piccata ed il tuo ritirarti dalla discussione (come se qualcuno ti avesse offeso mortalmente) sono del tutto fuori luogo.
ma in tutto ciò io non sono degna di avere risposte?:D
offendetemi pure se volete ma almeno fatemi capire, voglio precisare che non sto utilizzando questo forum per risparmiare tempo è che da sola alcune cose non le capisc
offendetemi pure se volete ma almeno fatemi capire, voglio precisare che non sto utilizzando questo forum per risparmiare tempo è che da sola alcune cose non le capisc
"Gugo82":
La tua risposta piccata ed il tuo ritirarti dalla discussione (come se qualcuno ti avesse offeso mortalmente) sono del tutto fuori luogo.
No tranquillo Gugo...hai interpretato male la mia risposta. Non c'è nessunissima offesa, ho solo avuto la consapevolezza di non esser stato in grado di fornire una risposta adeguata a questo tipo di domanda...e per questo non intervengo più...non vorrei confondere le idee,tutto la.
@ELWOOD:
Quando scrivi una cosa del genere:
chi legge è portato a "fraintenderti".
I linguaggi naturali sono ambigui, però con un po' di sforzo si riesce sempre a ridurre l'ambiguità sotto un limite accettabile.
@maggiep:
Mi scuso per aver ingombrato il tuo thread, ma sto solo facendo il mio "sporco" lavoro di moderatore.
Affermo che questo è il mio ultimo post del genere che vedrai qui; e credo che anche ELWOOD, se vuole replicare, farebbe meglio a contattarmi via PM.
Quando scrivi una cosa del genere:
"ELWOOD":
Questo mio sforzo di buona volontà non è stato gradito da qualcuno per questo mi faccio da parte in questa discussione.
chi legge è portato a "fraintenderti".
I linguaggi naturali sono ambigui, però con un po' di sforzo si riesce sempre a ridurre l'ambiguità sotto un limite accettabile.
@maggiep:
Mi scuso per aver ingombrato il tuo thread, ma sto solo facendo il mio "sporco" lavoro di moderatore.
Affermo che questo è il mio ultimo post del genere che vedrai qui; e credo che anche ELWOOD, se vuole replicare, farebbe meglio a contattarmi via PM.
"maggiep":
...
Fioravante mi scrive
Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
da ciò capisco che una soluzione massimale è anche globale
Che ne diresti di un ripassino di logica elementare?
Ora che a maggiep è stato risposto, un commento a ELWOOD.
Non penso (e l'ho detto già più volte su questo forum) che il formalismo sia "tutto".
Le spiegazioni intuitive, le analogie, etc., sono molto utili per smuovere il cervello. E la conoscenza che abbiamo degli enti matematici è un bel mix pasticciato di aspetti rigorosi e di sensazioni.
Quello che ti volevo dire è che la tua "spiegazione intuitiva" a mio parere non era di molto aiuto. Anche per via di una espressione un po' oscura come "la soluzione è prolungabile in qualsiasi intervallo di definizione". Il guaio è che le "idee intuitive" si capiscono meglio se sono fatte di concetti chiari, e a me non sembra nel caso di quella tua frase. E lo stesso vale anche per quella successiva.
Ciò intendevo dire, e ciò (ri-)detto, il mio voleva essere un invito a riprovarci, possibilmente con una resa migliore.
E' che effettivamente (anche questo, detto e stradetto) i forum sembrano essere fatti apposta per creare malintesi. Tra l'altro, rileggendo la mia frase, devo ammettere che si prestava alla tua interpretazione (cosa che non era nelle mie intenzioni; me ne dispiace e mi scuso comunque con te).
Non penso (e l'ho detto già più volte su questo forum) che il formalismo sia "tutto".
Le spiegazioni intuitive, le analogie, etc., sono molto utili per smuovere il cervello. E la conoscenza che abbiamo degli enti matematici è un bel mix pasticciato di aspetti rigorosi e di sensazioni.
Quello che ti volevo dire è che la tua "spiegazione intuitiva" a mio parere non era di molto aiuto. Anche per via di una espressione un po' oscura come "la soluzione è prolungabile in qualsiasi intervallo di definizione". Il guaio è che le "idee intuitive" si capiscono meglio se sono fatte di concetti chiari, e a me non sembra nel caso di quella tua frase. E lo stesso vale anche per quella successiva.
Ciò intendevo dire, e ciò (ri-)detto, il mio voleva essere un invito a riprovarci, possibilmente con una resa migliore.
E' che effettivamente (anche questo, detto e stradetto) i forum sembrano essere fatti apposta per creare malintesi. Tra l'altro, rileggendo la mia frase, devo ammettere che si prestava alla tua interpretazione (cosa che non era nelle mie intenzioni; me ne dispiace e mi scuso comunque con te).
forse ora ho capito anche se, se avessi letto con un pò più di attenzione la risposta già dovevo darmela da parecchio Fioravante scrive:
Una soluzione è massimale se non è prolungabile come soluzione.
Una soluzione è globale se è definita "sul più grosso insieme che abbia senso immaginare", visto l'insieme di def della f. Quando si fanno discorsi su soluzioni "globali", tipicamente si assume che la f sia definita su una "striscia verticale" e una soluzione sarà globale se è definita su tutta la "base" della striscia. Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
ora il mio primo problema era
y'=y^2
y(0)=1
e la soluzione è 1/1-x con x app a (-oo,1)
ora la f(x,y) è definita in tutto R^2 quindi la soluzione non è definita in tutto l'ntervallo assegnato a priori e quindi non è globale.Giusto?
o anche posso giustificarlo dicendo che la f(x,y) non è globalmente lipschitziana. come capisco che non è globalmente lipschitziana?
faccio $\partial$f/$\partial$y =2y non è limitata ma è continua quindi f non è globalmente lipschitz. ma solo localmente
La soluzione per l'insieme che ho scelto è massimale perkè in pratica non posso trovare un insieme più grande di (-oo,1) in cui è definita la mia soluzione. In termini esatti la miA soluzione non è prolungabile ed è quindi massimale!!!!
Inoltre del fatto della striscia avente base un insieme chiuso e limitato me ne devo importare poco perkè
"l teorema è enunciato usando come "base" un intervallo chiuso. Poi lo si estende al caso degli intervalli aperti (inclusi quelli non limitati)"
è giusto ciò? sto cominciando a capire? mille grazie per tutte le vostre risposte
e scusatemi se vi ho rotto con le mie domande
Cmq ottimo questo forum!!!!!!!!complimentiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Una soluzione è massimale se non è prolungabile come soluzione.
Una soluzione è globale se è definita "sul più grosso insieme che abbia senso immaginare", visto l'insieme di def della f. Quando si fanno discorsi su soluzioni "globali", tipicamente si assume che la f sia definita su una "striscia verticale" e una soluzione sarà globale se è definita su tutta la "base" della striscia. Va da sé che una soluzione globale non può essere prolungata e quindi è massimale.
ora il mio primo problema era
y'=y^2
y(0)=1
e la soluzione è 1/1-x con x app a (-oo,1)
ora la f(x,y) è definita in tutto R^2 quindi la soluzione non è definita in tutto l'ntervallo assegnato a priori e quindi non è globale.Giusto?
o anche posso giustificarlo dicendo che la f(x,y) non è globalmente lipschitziana. come capisco che non è globalmente lipschitziana?
faccio $\partial$f/$\partial$y =2y non è limitata ma è continua quindi f non è globalmente lipschitz. ma solo localmente
La soluzione per l'insieme che ho scelto è massimale perkè in pratica non posso trovare un insieme più grande di (-oo,1) in cui è definita la mia soluzione. In termini esatti la miA soluzione non è prolungabile ed è quindi massimale!!!!
Inoltre del fatto della striscia avente base un insieme chiuso e limitato me ne devo importare poco perkè
"l teorema è enunciato usando come "base" un intervallo chiuso. Poi lo si estende al caso degli intervalli aperti (inclusi quelli non limitati)"
è giusto ciò? sto cominciando a capire? mille grazie per tutte le vostre risposte
e scusatemi se vi ho rotto con le mie domandeCmq ottimo questo forum!!!!!!!!complimentiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
"maggiep":Giusto.
...
e la soluzione è 1/1-x con x app a (-oo,1)
ora la f(x,y) è definita in tutto R^2 quindi la soluzione non è definita in tutto l'ntervallo assegnato a priori e quindi non è globale.Giusto?
"maggiep":Ovviamente no. Quelle sono condizioni sufficienti, non necessarie! (La logica elementare...)
o anche posso giustificarlo dicendo che la f(x,y) non è globalmente lipschitziana. come capisco che non è globalmente lipschitziana?
faccio $\partial$f/$\partial$y =2y non è limitata ma è continua quindi f non è globalmente lipschitz. ma solo localmente
"maggiep":Corretto
La soluzione per l'insieme che ho scelto è massimale perkè in pratica non posso trovare un insieme più grande di (-oo,1) in cui è definita la mia soluzione. In termini esatti la miA soluzione non è prolungabile ed è quindi massimale!!!!
"maggiep":Sì.
Inoltre del fatto della striscia avente base un insieme chiuso e limitato me ne devo importare poco perkè
"l teorema è enunciato usando come "base" un intervallo chiuso. Poi lo si estende al caso degli intervalli aperti (inclusi quelli non limitati)"
"maggiep":Mi pare che ci siamo. Visto che hai fatto due errori di logica elementare, e visto che le cose le capisci, ti inviterei più che altro a più calma e maggior attenzione.
è giusto ciò? sto cominciando a capire?
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