Problema di cauchy soluzione locale o globale?
Salve sto da tre giorni per cercare di risolvere questo problema cioè se io ho un problema di cauchy come faccio a capire se la soluzione è locale o globale?
mi spiego io ho il problema
y'=f(x,y)
y(xo)=yo
come faccio a dire se la soluzione è globale o locale?
vi posto 2 problemi:
y'=y^2
y(0)=1
arcsin(y'+x)=sqrt(x+y)-y'
y(0)=1
prof di matematica aiutatemi!!!!!!!
mi spiego io ho il problema
y'=f(x,y)
y(xo)=yo
come faccio a dire se la soluzione è globale o locale?
vi posto 2 problemi:
y'=y^2
y(0)=1
arcsin(y'+x)=sqrt(x+y)-y'
y(0)=1
prof di matematica aiutatemi!!!!!!!
Risposte
premetto che non sono mai riuscita a capire fino in fondo la differenza tra condizione necessaria e condizione sufficiente, me lo sono chiesto più volte e cercato su internet e libri ma niente! ma ora grazie alla sua illuminazione ho capito dove dovevo cercare:NELLA LOGICA ELEMENTARE!!!
(come direbbe il mio prof. sto proprio ai piedi di pilato!!!!!!)
ora
date due proposizioni P; Q; potremo scrivere l'implicazione P $rArr$ Q; che leggeremo in una delle
seguenti forme:
P è condizione sufficiente per Q
Q è codizione necessaria per P.
P è condizione sufficiente per Q signifca che basta sapere che P è vera per dedurre che anche Q lo è.
Q è condizione necessaria per P significa che se Q fosse falsa, allora anche P lo sarebbe, cioè perchè possa
essere vera P; deve preliminarmente essere vera Q (anche se questo non assicura la verità di P)
quindi da tutto ciò capisco che quando verifico le ipotesi di una condizione sufficiente se esse sono vere allora vale la tesi ma se esse sono false nulla possa dire sulla tesi giusto?
invece in una condizione necessaria se sono vere le ipotesi allora è "forse" vera la tesi ma se le ipotesi sono false allora è falsa la tesi.
è questa la differenza fondamentale tra C.N.e C.S.?
ora se il teroema di cauchy mi da le condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità della soluzione seppure verifico le ipotesi e trovo che sono false cmq non posso dire nulla sulla tesi. Quindi se io in un esercizio verifico le ipotesi del th di esistenza ed unicità globale e trovo che esse sono false non posso dire che sicuramente non esiste la soluzione globale!!
in pratica faccio prima se risolvo l'esercizio e vedo se l'insieme di definizione della soluzione è uguale a quello della f(x,y) se lo è allora la soluzione è globale e se l'ipotesi di lipschitzianità è verificata allora la soluzione che ho trovato oltre ad essere globale è anche unica, ma se l'ipotesi di lip.globale non è verificata nulla posso dire sull'unicità giusto? allora che faccio verifico l'ipotesi di lipschitzianità locale se essa è verificata sicuramente posso dire che la soluzione che ho trovato è una soluzione locale.
quindi sbaglio se per dire che la soluzione è globale confronto SOLO L'INSIEME DI DEFINIZIONE!!!!
(come direbbe il mio prof. sto proprio ai piedi di pilato!!!!!!)
ora
date due proposizioni P; Q; potremo scrivere l'implicazione P $rArr$ Q; che leggeremo in una delle
seguenti forme:
P è condizione sufficiente per Q
Q è codizione necessaria per P.
P è condizione sufficiente per Q signifca che basta sapere che P è vera per dedurre che anche Q lo è.
Q è condizione necessaria per P significa che se Q fosse falsa, allora anche P lo sarebbe, cioè perchè possa
essere vera P; deve preliminarmente essere vera Q (anche se questo non assicura la verità di P)
quindi da tutto ciò capisco che quando verifico le ipotesi di una condizione sufficiente se esse sono vere allora vale la tesi ma se esse sono false nulla possa dire sulla tesi giusto?
invece in una condizione necessaria se sono vere le ipotesi allora è "forse" vera la tesi ma se le ipotesi sono false allora è falsa la tesi.
è questa la differenza fondamentale tra C.N.e C.S.?
ora se il teroema di cauchy mi da le condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità della soluzione seppure verifico le ipotesi e trovo che sono false cmq non posso dire nulla sulla tesi. Quindi se io in un esercizio verifico le ipotesi del th di esistenza ed unicità globale e trovo che esse sono false non posso dire che sicuramente non esiste la soluzione globale!!
in pratica faccio prima se risolvo l'esercizio e vedo se l'insieme di definizione della soluzione è uguale a quello della f(x,y) se lo è allora la soluzione è globale e se l'ipotesi di lipschitzianità è verificata allora la soluzione che ho trovato oltre ad essere globale è anche unica, ma se l'ipotesi di lip.globale non è verificata nulla posso dire sull'unicità giusto? allora che faccio verifico l'ipotesi di lipschitzianità locale se essa è verificata sicuramente posso dire che la soluzione che ho trovato è una soluzione locale.
quindi sbaglio se per dire che la soluzione è globale confronto SOLO L'INSIEME DI DEFINIZIONE!!!!
"maggiep":
grazie alla sua illuminazione
Mi si da del "lei", ma mi si paragona ad una lampadina
"maggiep":
quindi da tutto ciò capisco che quando verifico le ipotesi di una condizione sufficiente se esse sono vere allora vale la tesi ma se esse sono false nulla possa dire sulla tesi giusto?
giusto
"maggiep":Sì
è questa la differenza fondamentale tra C.N.e C.S.?
"maggiep":Esatto
ora se il teroema di cauchy mi da le condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità della soluzione seppure verifico le ipotesi e trovo che sono false cmq non posso dire nulla sulla tesi.
Quindi se io in un esercizio verifico le ipotesi del th di esistenza ed unicità globale e trovo che esse sono false non posso dire che sicuramente non esiste la soluzione globale!!
"maggiep":Se ci riesci, a volte è vero.
in pratica faccio prima se risolvo l'esercizio
"maggiep":Boiata pazzesca! La soluzione è funzione di una variabile, mentre f lo è di due. Guarda qualche post fa come mi sono espresso io, proprio per evitare questa mouse trap.
e vedo se l'insieme di definizione della soluzione è uguale a quello della f(x,y)
"maggiep":Mi pare che ci siamo, sostanzialmente.
se l'ipotesi di lip.globale non è verificata nulla posso dire sull'unicità giusto? allora che faccio verifico l'ipotesi di lipschitzianità locale se essa è verificata sicuramente posso dire che la soluzione che ho trovato è una soluzione locale.
"maggiep":Non capisco cosa vuoi dire.
quindi sbaglio se per dire che la soluzione è globale confronto SOLO L'INSIEME DI DEFINIZIONE!!!!
"Fioravante Patrone":
[quote="maggiep"]grazie alla sua illuminazione
Mi si da del "lei", ma mi si paragona ad una lampadina
[/quote]eh sì!!!!!esattamente una lampadina prima non vedevo niente ora ci vedo chiaro
a parte gli scherzi ancora grazie per avermi aiutato a risolvere i miei dubbi.....ma ce ne saranno ancora, gli argomenti che ho da fare sono ancora tanti!!!!
per vedere se è globale devo vedere se la y(x) e definita sullo stesso insieme della f(x,y)rispeetto ad x
ciè se ho
f(x,y)=y/(1+x) che e def èer x app ad r^2 tranne x=-1
ora se y(x) ha come esieme di def r tranne -1 allora è globale giusto?
ciè se ho
f(x,y)=y/(1+x) che e def èer x app ad r^2 tranne x=-1
ora se y(x) ha come esieme di def r tranne -1 allora è globale giusto?
"maggiep":
per vedere se è globale devo vedere se la y(x) e definita sullo stesso insieme della f(x,y)rispeetto ad x
ciè se ho
f(x,y)=y/(1+x) che e def èer x app ad r^2 tranne x=-1
ora se y(x) ha come esieme di def r tranne -1 allora è globale giusto?
La idea è abbastanza vicina ad essere giusta, ma c'è un importante dettaglio da tener presente.
Ripeti con me ad alta voce: "la soluzione di una equazione differenziale ordinaria è definita su un intervallo" (il grassetto sta ad indicare che quella parola finale va gridata).
Se vai a rivangare nei dei miei post passati di questo thread, vedrai che ho scritto:
"Fioravante Patrone":
Per me una striscia è il prodotto cartesiano fra un intervallo ed $RR$. Ma vedi anche un po' la terminologia in uso da parte del* prof*.
Vedi, io parlo di intervallo.
Basta intendersi.
Visto che la f è definita su $A \times RR$, con $A$ che non è un intervallo, ma unione di due intervalli, forse si potrebbe dire che le soluzioni massimali sono globali in quanto esse coprono il massimo intervallo che possono coprire.
Insomma, "a sentimento" le chiamerei globali. Ma, come detto anche allora, vedi cosa dice il/la prof.
sto diventando un incubo.....!!!!!! prometto che per un pò di girni non disturberò più
ho il seguente problema di cauchy:
y'=xy+xy^3
y(1/2)=0
in questo caso l'intervallo assegnato a priori dall'equazione differenzale è x $in$$RR$
ora ho trovato l'integrale generale in forma implicita è
( y(x))^2= 1/(c*e^(-x^2)-1) N.B. non lo esplicito altrimenti devo fare una serie di considerazioni sul parametro c
+ l'integrale particolare y(x)=0
la soluzione del problema di cauchy è y(x)=0 che è definita $AA$x $in$ R
ora che faccio verfico le ipotesi del teorema di esistenza ed unicita globale .Esse non sono verificate allora verfico le hp di quello locale:
trovo che f(x,y) è di classe C1 quindi concludo che la soluzione trovata è unica ed è locale
ok?
ho il seguente problema di cauchy:
y'=xy+xy^3
y(1/2)=0
in questo caso l'intervallo assegnato a priori dall'equazione differenzale è x $in$$RR$
ora ho trovato l'integrale generale in forma implicita è
( y(x))^2= 1/(c*e^(-x^2)-1) N.B. non lo esplicito altrimenti devo fare una serie di considerazioni sul parametro c
+ l'integrale particolare y(x)=0
la soluzione del problema di cauchy è y(x)=0 che è definita $AA$x $in$ R
ora che faccio verfico le ipotesi del teorema di esistenza ed unicita globale .Esse non sono verificate allora verfico le hp di quello locale:
trovo che f(x,y) è di classe C1 quindi concludo che la soluzione trovata è unica ed è locale
ok?
"maggiep":
ho il seguente problema di cauchy:
y'=xy+xy^3
y(1/2)=0
in questo caso l'intervallo assegnato a priori dall'equazione differenzale è x $in$$RR$
ora ho trovato l'integrale generale in forma implicita è
( y(x))^2= 1/(c*e^(-x^2)-1) N.B. non lo esplicito altrimenti devo fare una serie di considerazioni sul parametro c
+ l'integrale particolare y(x)=0
la soluzione del problema di cauchy è y(x)=0 che è definita $AA$x $in$ R
ora che faccio verfico le ipotesi del teorema di esistenza ed unicita globale .Esse non sono verificate allora verfico le hp di quello locale:
trovo che f(x,y) è di classe C1 quindi concludo che la soluzione trovata è unica ed è locale
ok?
Ma se a te interessa quel problema di Cauchy fai prima a dire che ha una ed una sola soluzione massimale (non sai se è "in grande", visto che le condizioni sufficienti non sono soddisfatte).
Dopodiché hai la fortuna(*) di avere una soluzione costante, ovviamente definita su $RR$. Allora la tua soluzione massimale è anche soluzione "in grande".
[size=75](*) E' un fatto generale che riguarda le equazioni a variabili separabili (vedi i miei appunti "urang utang", se vuoi)[/size]
grazie grazie grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
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