Problema di Cauchy "particolare"

[previ91]

$\{(y'' + 2y' - 8y = 0),(y(0)=- \pi),(y'(0) = b):}$ determinare $b$ in modo tale che $lim_{x->+\infty}y(x)=0$ con $y(x)$ soluzione del problema.

Allora : è un'equazione lineare del II° ordine omogenea , risolvo il polinomio caratteristico $\lambda^2 + 2\lambda - 8=0$ , poichè $\Delta >0$ ottengo che $y_1 =e^{2x} , y_2=e^{-4x}$ ossia $y=C_1 e^{2x} + C_2e^{-4x} $ .

Ora impongo le condizioni :
$y(0)=- \pi -> C_1 + C_2 = -\pi$
$y' = 2C_1 e^{2x} -4 C_2e^{-4x}$ quindi $y'(0)=b ->2C_1 - 4C_2 = b$

Le condizioni sono :
$\{ (C_1 + C_2 = -\pi),(2C_1 - 4C_2 = b):}$ da cui , se non ho sbagliato i calcoli , ottengo : $C_1 = -7/6 \pi - b/6 $ ,$C_2=\pi/3 - b/6$ . La soluzione del problema dovrebbe quindi essere : $y=-7/6 \pi - b/6 e^{2x} + \pi/3 - b/6 e^{-4x} $

Ottimo ! Ammesso che sia corretto...ora cosa devo fare per il limite ?? Grazie

[Gi81]

${ (C_1 + C_2 = -\pi),(2C_1 - 4C_2 = b):} => {(C_1 = -pi -C_2),(2(-pi-C_2) -4C_2 = b):}=>$
$=> {(C_1 = -pi -C_2),(-6C_2 = b+2pi):}=> {(C_1 = -pi -C_2),(C_2 = -b/6 - pi/3):} =>{(C_1= -2/3 pi +b/6),(C_2 = - pi/3-b/6):}$

Quindi la soluzione è $y(x)= (-2/3 pi +b/6)e^(2x) +(- pi/3-b/6)e^(-4x)$

Ora, quanto fa $lim_(x->+oo) y(x)$? Il secondo addendo (cioè $(- pi/3-b/6)e^(-4x)$) tende a $0$ comunque sia $b$,
mentre il primo addendo ...

[previ91]

tende a infinito....allora devo far si che b sia tale da annullare il primo membro tra parentesi ?

[Gi81]

Sì

[previ91]

grazie mille...ci sono =)