Problema di cauchy [problema con soluzione particolare]

[ludwigZero]

Buona sera
sto trovando alcuni problemi con questo problema di cauchy

$y'' + 2 y' + y = x e^x$

trovo per l'omogenea:

$c_1 e^-x + c_2 x e^x$

non vi è alcun autovalore (cioè $a=-1$ non si trova in $x e^x$ detto in parole povere....)

sto trovando però problemi nel risolvere l'eq. particolare. [non avendo risultato ho provato su wolfram che mi riporta a questo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 3D+x+e%5Ex ]

la forma della soluzione particolare dovrebbe essere del tipo:

$v(x) = A x e^x$

$v'(x) = A x e^x + A e^x$

$v'' ( x) = 2 A e^x + A x e^x$

viene dopo aver sostituito nell'eq. differenziale:

$4 A e^x + 4 A x e^x = x e^x$

dunque: ottengo

$4 A x e^x = x e^x$ -> $A = 1/4$

mente l'altro pezzettino rimane totalmente appeso....sinceramente mi vedo male

dove sbaglio?

[ciampax]

La soluzione dell'omogenea è $y(x)=(C_1+C_2 x)e^{-x}$. Per la particolare, prova a cercarla in questa forma $y_P(x)=(Ax+B)e^x$. In generale, se hai un come termine noto il prodotto di un polinomio di grado $n$ e un'esponenziale, la soluzone deve essere dello stesso tipo (a meno della molteplicità degli autovalori, ovvio).

[ludwigZero]

"ciampax":La soluzione dell'omogenea è $y(x)=(C_1+C_2 x)e^{-x}$. Per la particolare, prova a cercarla in questa forma $y_P(x)=(Ax+B)e^x$. In generale, se hai un come termine noto il prodotto di un polinomio di grado $n$ e un'esponenziale, la soluzone deve essere dello stesso tipo (a meno della molteplicità degli autovalori, ovvio).

era quel B che non ricordavo.....
che svista enorme, se fosse stato Q(x) del secondo grado avrei dovuto trovare una del tipo

$A x^2 + B x + C$ e così via....

ritento, se non mi viene nuovamente posto

[edit] torna torna

@sergio

conosco quel metodo, è un pò ... meccanico e preferisco andare sul sicuro...

[ciampax]

Veramente il metodo meccanico è quello che ti ho suggerito io, tra i due.