Problema di Cauchy - problema con condizioni iniziali
Salve ragazzi. Sono a risolvere questo problema di Cauchy:
$\{(y''+2y'=e^(-2x)+x+3),(y(0)=1),(y'(0)=2):}$
ho trovato la soluzione dell'equazione differenziale, adesso però non so come utilizzare le condizioni iniziali per levarmi le costanti C.
la soluzione è: $y=C_1+C_2e^(-2x)-1/2xe^(-2x)+1/4x^2+5/6$
Ho cercato in giro ma non riesco a trovare un esercizio o un esempio che mi faccia capire come si usano queste condizioni iniziali.
PS. da solo sono arrivato a pensare che devo sostituire a $x=0$ nella soluzione per e il valore di $C_1$ in questo caso mi tornerebbe $1+5/6=11/6$. Ma per quanto riguarda la condizione iniziale legata alla derivata prima non so cosa fare... ditemi se ho sbagliato ragionamento...
Gracias in anticipo
$\{(y''+2y'=e^(-2x)+x+3),(y(0)=1),(y'(0)=2):}$
ho trovato la soluzione dell'equazione differenziale, adesso però non so come utilizzare le condizioni iniziali per levarmi le costanti C.
la soluzione è: $y=C_1+C_2e^(-2x)-1/2xe^(-2x)+1/4x^2+5/6$
Ho cercato in giro ma non riesco a trovare un esercizio o un esempio che mi faccia capire come si usano queste condizioni iniziali.
PS. da solo sono arrivato a pensare che devo sostituire a $x=0$ nella soluzione per e il valore di $C_1$ in questo caso mi tornerebbe $1+5/6=11/6$. Ma per quanto riguarda la condizione iniziale legata alla derivata prima non so cosa fare... ditemi se ho sbagliato ragionamento...
Gracias in anticipo
Risposte
Hai mai visto un problema di Cauchy?
Calcola $y(0)$ e poni uguale a $1$. Fai la derivata della tua soluzione e sostituisci ancora $x=0$. A questo punto hai un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
P.S. Per $x=0$ non hai $C_1=1$, vedi bene.
Calcola $y(0)$ e poni uguale a $1$. Fai la derivata della tua soluzione e sostituisci ancora $x=0$. A questo punto hai un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
P.S. Per $x=0$ non hai $C_1=1$, vedi bene.
Piccola domandina. Facendo il primo $y(0)=1$ la soluzione mi viene $C_1=11/6$. Ma quando sostituisco ovunque nella soluzione $x=0$ quando vado a cercare la seconda condizione iniziale mi verrà per forza 0. Perchè se derivo una soluzione dove la x non compare (devo fare la $y'(0)$).
Sono completamente fuori strada o no?
Sono completamente fuori strada o no?
Per $x=0$ ottieni $C_1+C_2+5/6=0$ se la soluzione da te scritta nel primo post è corretta.
"K.Lomax":
Per $x=0$ ottieni $C_1+C_2+5/6=0$ se la soluzione da te scritta nel primo post è corretta.
mmm giusto perché $e^0$ fa 1
OK penso d'aver capito.Quindi il sistema colle condizioni iniziali dovrebbe essere così:
$\{(C_1+C_2+5/6=1),(-2C_2-1/2=2):}$
Quindi la soluzione finale mi torna:
$y=-5/4e^(-2x)-1/2xe^(-2x)+1/2x^2+27/12$
Giusto? se si non rompo più con cauchy lo prometto
Il sistema è ok. Le soluzioni non le ho controllate.
grazie mille... ora ho capito come risolvere queste equazioni
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