Problema di Cauchy mi sono bloccata in un passaggio

[bella.comelaluna]

$ { ( xy^5y'=3y^6-2x^2 ),( y(1)=2 ):} $


Posto $v=y^6$, si ottiene

$ x/6 v'=3v-2x^2$
$v(1)=2^6$

$x/6v'=3v$ se e solo se $(v')/v=18/x$

$log |v|=18log|x| $

$V=Cx^18$

Dopo ciò che devo fare? Mi sono bloccata

[ciampax]

L'equazione è lineare e puoi scriverla come
$$v'-\frac{18}{x} v=-12 x$$
Posto $a(x)=-{18}/x$ e $b(x)=-12x$ si ricava $A(x)=-18\log|x|$ e quindi la soluzione
$$v(x)=e^{-A(x)}\left[\int e^{A(x)} b(x)\ dx+c\right]=x^{18}\left[\int \frac{-12 x}{x^{18}}\ dx+c\right]=x^{18}\left[\int -\frac{12}{x^{17}}\ dx+c\right]=\\ x^{18}\left[\frac{12}{16 x^{16}}+c\right]=x^{18}\left[\frac{3}{4 x^{16}}+c\right]$$
Dalla condizione iniziale segue $2^{6}=c+3/4$ e quindi $c=2^6-3/4={253}/4$ e quindi
$$v(x)=x^{18}\cdot\frac{3+253x^{16}}{4x^{16}}=\frac{x^2}{4}(3+253x^{16})$$
Infine
$$y(x)=\sqrt[6]{\frac{x^2}{4}(3+253x^{16})}$$
dove prendi la determinazione positiva a causa della condizione iniziale.

[bella.comelaluna]

Ah ecco non ci avevo pensato! Hai usato l'altro metodo che avevo dimenticata! Grazie mille ciampax

[ciampax]

Prego: comunque se vuoi usare la variazione delle costanti, procedi così. Poni $v_p(x)=C(x)\cdot x^{18}$ come soluzione particolare. Derivando si ha $v'(x)=C'(x)\cdot x^{18}+18C(x)\cdot x^{17}$ e sostituendo
$$\frac{C'(x)\cdot x^{19}}{6}+3C(x) x^{18}=3C(x) x^{18}-2x^2$$
da cui
$$C'(x)=-\frac{12}{x^{17}}\ \Rightarrow\ C(x)=\frac{3}{4 x^{16}}$$
La soluzione particolare risulta pertanto
$$v_p(x)=\frac{3}{4} x^2$$
e la soluzione generale è
$$v(x)=Cx^{18}+\frac{3}{4} x^2$$
Da questa ricavi $C$. Infine trovi $y$ facendo la radice sesta (sempre con determinazione positiva).