Problema di Cauchy equazione differenziale II ordine

[jigen45]

Ragazzi, mi imbatto in un piccolo problema nel seguente problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine:

$ { ( y''+3y=x+14e^(2x) ),( y(0)=2 ),( y'(0)=0 ):} $

$ y''+3y=0 $

$ z^2+3=0 $

$ z_(1,2)=±3i $

$ y(x)=C_1cos(sqrt(3)x)+C_2sin(sqrt(3)x) $

$x+14e^(2x) $ non è soluzione, ne cerco una particolare della forma

$ bar(y)(x)=ae^(2x) $

$ bar(y)'(x)=2ae^(2x) $

$ bar(y)''(x)=4ae^(2x) $

Sostituendo nel sistema ho che

$ 4ae^(2x)+3ae^(2x)=x+14e^(2x) $

La domanda a questo punto è: come faccio a determinare la costante $a$?

Ringrazio in anticipo

[gugo82]

Non potrai mai riuscire a determinare \(a\)... Semplicemente perché una tale costante non può esistere.

Infatti, se provi a cercare soluzioni della EDO completa del tipo \(ae^{2x}\) ti accorgi subito che nessuna costante \(a\) può funzionare.


P.S.: Studi Ingegneria a Napoli?

[D4lF4zZI0]

Ma la domanda corretta da fare è questa: avendo due funzioni $x$ e $14e^(2x)$ perchè non applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e ricercare due soluzioni particolari del tipo $ax+b$ ( per la sola funzione $x$ ) e $ae^(2x)$ ( per la sola funzione $14e^(2x)$ ?
A volte ci si perde in un bicchiere d'acqua

[jigen45]

Ciao gugo82, grazie mille per la risposta!! Se voglio applicare il metodo di somiglianza però in questo caso non devo cercare una soluzione di quel tipo? Poi avevo pensato che sostituendo alla $x$ un valore (ad esempio $x=0$), se si va a sostituire affinchè i membri ($7ae^(2x)$ e $x+14e^(2x)$) risultino uguali $a$ dovrebbe essere uguale a $2$..
P.S. studio informatica a Roma

[gugo82]

Il metodo di somiglianza quando si può applicare?
Guarda sul libro.

[jigen45]

Potrà sembrarti spaventoso, ma sull'Adams non l'ho trovato Sarebbe utile trovare uno specchietto riassuntivo che sia molto chiaro sul metodo di somiglianza con i casi e le forme da utilizzare

[jigen45]

Ho capito che la scelta della particolare è sbagliata. Non riesco a trovare tuttavia quella giusta

[gugo82]

"jigen45":Potrà sembrarti spaventoso, ma sull'Adams non l'ho trovato Sarebbe utile trovare uno specchietto riassuntivo che sia molto chiaro sul metodo di somiglianza con i casi e le forme da utilizzare

Il cosiddetto metodo di somiglianza si applica solo se il termine noto è nella forma "buona" generale:
\[
e^{\alpha x}\ \big[ p_n(x)\ \cos \beta x + q_m(x)\ \sin \beta x\big]
\]
con \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), \(n,m\in \mathbb{N}\) e \(p_n,q_m\) polinomi di grado \(n\) ed \(m\) rispettivamente.
Questa forma generale comprende termini noti di tipo:

[*:154sny0j]puramente esponenziale (per ottenerli basta prendere \(\beta =0\) e \(n=0\), cui corrispondono polinomi \(p_0(x)\) costanti);

[/*:m:154sny0j]
[*:154sny0j] puramente trigonometrico (basta prendere \(\alpha=0\), \(n=m= 0\));

[/*:m:154sny0j]
[*:154sny0j] puramente polinomiale, quindi anche le costanti (con \(\alpha =\beta=0\));

[/*:m:154sny0j]
[*:154sny0j] oppure misto, ma con funzioni trigonometriche aventi lo stesso periodo e fattori esponenziali con gli stessi coefficienti, e.g. \(e^x x \cos 2x + e^x (4x^{101}+1)\ \sin 2x\) (il periodo è determinato da \(\beta\) ed il coefficiente \(\alpha\) modula i fattori esponenziali).[/*:m:154sny0j][/list:u:154sny0j]

Per quanto riguarda la sua applicazione, puoi trovare una guida molto sommaria qui.

Nel tuo caso, il termine noto non è nella forma "buona", ma è somma di due pezzi che sono in forma "buona".
D'altra parte la EDO è lineare, quindi una soluzione relativa al termine noto assegnato la puoi ottenere sommando i contributi forniti da ogni pezzo in forma "buona" (questo è il principio di sovrapposizione degli effetti evocato più sopra da D4lF4zZIO).

[jigen45]

Grazie mille gugo82. Quindi alla base di quanto detto da te e da D4lF4zZI0 la forma giusta è:

$ ax+b+ce^(2x) $

Giusto? Ringrazio in anticipo

[gugo82]

Sì.

[jigen45]

Perfetto!! Grazie mille a voi per il vostro enorme aiuto!!