Problema di cauchy equazione differenziale 2° ordine
ciao..
devo risolvere il seguente problema di cauchy per un equazione differenziale:
$\{(y''+y'=xe^(-x)),(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$
sono arrivato a trovare le soluzioni con le costanti c1 e c2...
credo sia quuesta...
$y(x)=c1+c2e^(-x)+c1(-e^(-x)(x+1))-c2(x^2)/2$
ora però non so piu come andare avanti...
so risolvere il problema di cauchy con le equazioni del 1° ordine facendo la formula con l'integrale definito tra x e xconzero
però con quelle del 2° ordine non so come fare...
devo risolvere il seguente problema di cauchy per un equazione differenziale:
$\{(y''+y'=xe^(-x)),(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$
sono arrivato a trovare le soluzioni con le costanti c1 e c2...
credo sia quuesta...
$y(x)=c1+c2e^(-x)+c1(-e^(-x)(x+1))-c2(x^2)/2$
ora però non so piu come andare avanti...
so risolvere il problema di cauchy con le equazioni del 1° ordine facendo la formula con l'integrale definito tra x e xconzero
però con quelle del 2° ordine non so come fare...
Risposte
L'integrale generale dell'omogenea associata è $y(x)=c_1+c_2e^(-x)$, e questo pezzo c'è; un integrale particolare dell'equazione completa, invece, non lo vedo.
Sembra esserci un "pezzo" in più, ossia $c_1(-e^(-x)(x+1))-c_2(x^2)/2$, in cui compaiono costanti arbitrarie che non dovrebbero esserci.
Ti consiglio di rivedere i calcoli che hai fatto col metodo di Lagrange.
Sembra esserci un "pezzo" in più, ossia $c_1(-e^(-x)(x+1))-c_2(x^2)/2$, in cui compaiono costanti arbitrarie che non dovrebbero esserci.
Ti consiglio di rivedere i calcoli che hai fatto col metodo di Lagrange.
non so cosa sia il metodo di lagrange non l'abbiamo fatto con le equazioni differenziali!!!!
ùcomunque quel pezzo in piu che dici mi viene fuori facndo i due intergrali per trovare gamma 1 e 2 che poi vanno a comporre la soluzione essendo l'equazione no nomogenea.
$\gamma1(x)=int((-f(x)y2(x))/(w(x)))$ e l'altro con l'altra soluzione e con f(x) positiva...
dove w(x) è il determinante della matrice wronskiana...
ùcomunque quel pezzo in piu che dici mi viene fuori facndo i due intergrali per trovare gamma 1 e 2 che poi vanno a comporre la soluzione essendo l'equazione no nomogenea.
$\gamma1(x)=int((-f(x)y2(x))/(w(x)))$ e l'altro con l'altra soluzione e con f(x) positiva...
dove w(x) è il determinante della matrice wronskiana...
"dopamigs":
non so cosa sia il metodo di Lagrange non l'abbiamo fatto con le equazioni differenziali!!!
comunque quel pezzo in piu che dici mi viene fuori facendo i due intergrali per trovare $gamma_1$ e $gamma_2$ che poi vanno a comporre
$\gamma_1(x)=int((-f(x)y_2(x))/(w(x)))$ e l'altro con l'altra soluzione e con $f(x)$ positiva...
dove w(x) è il determinante della matrice wronskiana...
Ecco, quello delle funzioni $gamma_1,gamma_2$ si chiama metodo di Lagrange o della variazione delle costanti.
Ad ogni modo, fai vedere un po' i conti che hai fatto...
P.S.: Forse ho capito l'errore.
Praticamente devi scrivere l'integrale particolare come $gamma_1*y_1+gamma_2*y_2$ senza metterci davanti le costanti arbitrarie; in altre parole, le $gamma_i$ prendono il posto delle $c_i$ quando scrivi l'integrale particolare. In questo modo l'integrale generale dell'equazione completa si scrive:
$y(x)=c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)+gamma_1(x)*y_1(x)+gamma_2(x)*y_2(x) \quad$.
a ok...non lo sapevo!!!
allora il determinante della matrice mi viene $-e^(-x)$
e $\gamma1(x)=-e^(-x)(x+1)$ $\gamma2(x)=-(x^2)/2$
e poi mettendo insieme i risultati con le soluzioni y1 e y2 mi vengono il risultato che t'ho detto prima...
allora il determinante della matrice mi viene $-e^(-x)$
e $\gamma1(x)=-e^(-x)(x+1)$ $\gamma2(x)=-(x^2)/2$
e poi mettendo insieme i risultati con le soluzioni y1 e y2 mi vengono il risultato che t'ho detto prima...
a oo..solo che sbagliavo...e poi per quello che riguarda i lproblema di cauchy?
E poi ovviamente imponi alla tua $y(x)$ le due condizioni; ovviamente devi calcolare $y'(x)$ però.
Una volta calcolata $y'(x)$, metti a sistema le due relazioni:
$\{(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$
che costituiscono un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite $c_1,c_2$ il quale ha un'unica soluzione (perchè il wronskiano, che costituisce la matrice dei coefficienti del sistema, è non nullo).
Una volta calcolata $y'(x)$, metti a sistema le due relazioni:
$\{(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$
che costituiscono un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite $c_1,c_2$ il quale ha un'unica soluzione (perchè il wronskiano, che costituisce la matrice dei coefficienti del sistema, è non nullo).
ok..grazie mille...
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