Problema di Cauchy (Eq. differenziale non omogenea del 2° ordine)
Ciao a tutti.
Avrei un problema con questo problema di cauchy associato ad una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti di ordine 2.
y′′ − 6y′ + 9y = 8e^3t
y(0) = 0
y′(0) = 7
Ho saputo risolvere l'equazione non omogenea, trovando l'integrale generale, che viene (ed è esatto):
C1e^(3t) + C2te^(3t) + 4t^2e^(3t)
Come posso procedere per trovare la soluzione al problema di Cauchy? Grazie.
Avrei un problema con questo problema di cauchy associato ad una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti di ordine 2.
y′′ − 6y′ + 9y = 8e^3t
y(0) = 0
y′(0) = 7
Ho saputo risolvere l'equazione non omogenea, trovando l'integrale generale, che viene (ed è esatto):
C1e^(3t) + C2te^(3t) + 4t^2e^(3t)
Come posso procedere per trovare la soluzione al problema di Cauchy? Grazie.
Risposte
Imponi le condizioni inziali :
$y(0)=C_1=0 $
$ y'(t)= C_2e^(3t)+3C_2 te^(3t) +8te^(3t)+12t^2e^(3t) -----> y'(0)= C_2 = 7 $
quindi $C_1=0 ; C_2=7 $
$y(0)=C_1=0 $
$ y'(t)= C_2e^(3t)+3C_2 te^(3t) +8te^(3t)+12t^2e^(3t) -----> y'(0)= C_2 = 7 $
quindi $C_1=0 ; C_2=7 $
Ok, in questo modo verifico la validità delle condizioni iniziali. Se sostituisco 0 alla soluzione, ottengo 0 e se sostituisco 0 alla derivata, ottengo 7. quindi C1=0 e C2=7. Ma se le condizioni non dovessero essere verificate cosa succede? C'è un procedimento generale?
Forse non sono stato chiaro :
La soluzione generale dell'equazione completa che tu hai trovato è : $y(t) = C_1e^(3t) +C_2 t e^(3t) +4t^2 e^(3t)$.
Essendo una equazione del secondo ordine si hanno $oo ^2 $ soluzioni ; per arrivare all'unica soluzione del problema di Cauchy bisogna determinare le costanti $C_1 , C_2$.
Per fare questo impongo alla soluzione generale che verifichi le due condizioni:
**$y (0)= C_1 e^(3*0)+C_2 *0*e^(3*0)+4*0^2*e^(0) = C_1 $ ma questo deve essere uguale a $0 $ -prima condizione , quindi $C_1=0 $
** Calcolo la derivata $y' (t) $ e la valuto nel punto $t=0 $ ottenendo $y'(0)= C_2 *e^0 = C_2 $ ma questo deve valere $7 $ quindi $C_2=7 $ .
Le due costanti sono state determinate e di conseguenza l'unica soluzione che soddisfa il problema di Cauchy è :
$y(t)= 7*t*e^(3t) +4t^2*e^(3t) $ è semplice verificare che la soluzione verifica le due condizioni del PdC oltre che ( ma non l'ho fatto ) la equazione differenziale iniziale.
La soluzione generale dell'equazione completa che tu hai trovato è : $y(t) = C_1e^(3t) +C_2 t e^(3t) +4t^2 e^(3t)$.
Essendo una equazione del secondo ordine si hanno $oo ^2 $ soluzioni ; per arrivare all'unica soluzione del problema di Cauchy bisogna determinare le costanti $C_1 , C_2$.
Per fare questo impongo alla soluzione generale che verifichi le due condizioni:
**$y (0)= C_1 e^(3*0)+C_2 *0*e^(3*0)+4*0^2*e^(0) = C_1 $ ma questo deve essere uguale a $0 $ -prima condizione , quindi $C_1=0 $
** Calcolo la derivata $y' (t) $ e la valuto nel punto $t=0 $ ottenendo $y'(0)= C_2 *e^0 = C_2 $ ma questo deve valere $7 $ quindi $C_2=7 $ .
Le due costanti sono state determinate e di conseguenza l'unica soluzione che soddisfa il problema di Cauchy è :
$y(t)= 7*t*e^(3t) +4t^2*e^(3t) $ è semplice verificare che la soluzione verifica le due condizioni del PdC oltre che ( ma non l'ho fatto ) la equazione differenziale iniziale.
Ok! Grazie, mi ero stupidamente incartato!
Grazie del chiarimento..
Grazie del chiarimento..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo