Problema di Cauchy - Eq. diff. var sep -Dubbio
L'equazione è $y'=(y+y^2)/x $ :
*le soluzioni costanti sono : $y=0 $ e $ y= -1 $
* la soluzione generale è: $ y = (kx)/(1-kx) $
La condizione iniziale è $ y(1) = 2 $ per cui si ottiene la soluzione del PdC : $y= (2x)/(3-2x) $ .
La domanda è : determinare l'intervallo massimo su cui è definita la soluzione del PdC .
La mia risposta è l'intervallo $(0,3/2 ) $ in quanto in $x=0 $ l'equazione differenziale non è definita perchè il termine $(1/x) $ non lo è ; per $ x=3/2 $ la soluzione trovata non è neppure continua e quindi mi devo "fermare ".
Il testo invece dà come soluzione l'intervallo $(-oo, 3/2 ) $ .
Come stanno veramente le cose ? commenti/ correzioni /precisazioni saranno graditi
*le soluzioni costanti sono : $y=0 $ e $ y= -1 $
* la soluzione generale è: $ y = (kx)/(1-kx) $
La condizione iniziale è $ y(1) = 2 $ per cui si ottiene la soluzione del PdC : $y= (2x)/(3-2x) $ .
La domanda è : determinare l'intervallo massimo su cui è definita la soluzione del PdC .
La mia risposta è l'intervallo $(0,3/2 ) $ in quanto in $x=0 $ l'equazione differenziale non è definita perchè il termine $(1/x) $ non lo è ; per $ x=3/2 $ la soluzione trovata non è neppure continua e quindi mi devo "fermare ".
Il testo invece dà come soluzione l'intervallo $(-oo, 3/2 ) $ .
Come stanno veramente le cose ? commenti/ correzioni /precisazioni saranno graditi
Risposte
Facendo i conti, e cioè "sostituendo nell'equazione", trovo che a destra mi resta (a parte le altre cose, che non contano) un $x/x$.
Quindi, pur se ovviamente la funzione trovata non risolve l'equazione data per x=0, visto che il secondo membro dell'equazione non ha senso per x=0, tuttavia si può fare un qualche discorso di "prolungabilità" della condizione che determina l'equazione differenziale. Un discorso un po' pericoloso, perché riguarda il "buon comportamento" non di $f(x,y)$ ma di $f(x,y(x))$, ma comunque potrebbe permettere di tollerare questa "eccezione" (tra l'altro immagino che il discorso funga indipendentemente dalla c.i.). Probabilmente c'è anche una "piccola teoria" su queste cose, e magari anche una terminologia (di certo non la conosco). Se c'è chi ne sa, grazie!
Se l'hai trovato su un testo didattico, certo qualche parola in più sarebbe stata opportuna (cioè: indispensabile)!
Quindi, pur se ovviamente la funzione trovata non risolve l'equazione data per x=0, visto che il secondo membro dell'equazione non ha senso per x=0, tuttavia si può fare un qualche discorso di "prolungabilità" della condizione che determina l'equazione differenziale. Un discorso un po' pericoloso, perché riguarda il "buon comportamento" non di $f(x,y)$ ma di $f(x,y(x))$, ma comunque potrebbe permettere di tollerare questa "eccezione" (tra l'altro immagino che il discorso funga indipendentemente dalla c.i.). Probabilmente c'è anche una "piccola teoria" su queste cose, e magari anche una terminologia (di certo non la conosco). Se c'è chi ne sa, grazie!
Se l'hai trovato su un testo didattico, certo qualche parola in più sarebbe stata opportuna (cioè: indispensabile)!
Ti ringrazio per le spiegazioni : avevo notato che si otteneva a destra $x/x $ ma mi sembrava troppo "audace " farlo diventare $1 $.
Capisco il discorso della prolungabilità e chiedo ancora :
* non è comunque errato (anzi..) dire che l'intervallo massimale è $(0,3/2)$ ?
* se il PdC fosse stato relativo alla stessa eq. diff ma con condizione inziale $y(2)= 3 $ la soluzione relativa sarebbe stata: $y=3x/(8-3x) $ e l'intervallo massimale in cui è definita tale soluzione sarebbe $(3/2, +oo )$ non ci piove su questo
Sì l'esercizio era su un testo didattico e la risposta che ho citato era data senza commenti.
Visto che siamo in tema allargo il discorso al PdC più generale :
$y'=x^2 sqrt(y^2-1) $
$y(x_0)=y_0 $
La domanda è : per quali valori di $x_0,y_0 $ si ha soluzione ( non necessariamente unica )?
$x_0 in RR ; y_0>=1 , y_0<=-1 $ essendo $x^2 $ continua su tutto $RR$ e $sqrt(y^2-1)$ continua ove indicato.
L'ulteriore domanda è per quali valori di $x_0,y_0 $ si ha soluzione unica ?
$x_0 in RR ; y_0>1 , y_0<-1 $ in quanto nei punti $+-1 $ si ha che $sqrt(y^2-1) $ non è derivabile.
Corretto ?
Capisco il discorso della prolungabilità e chiedo ancora :
* non è comunque errato (anzi..) dire che l'intervallo massimale è $(0,3/2)$ ?
* se il PdC fosse stato relativo alla stessa eq. diff ma con condizione inziale $y(2)= 3 $ la soluzione relativa sarebbe stata: $y=3x/(8-3x) $ e l'intervallo massimale in cui è definita tale soluzione sarebbe $(3/2, +oo )$ non ci piove su questo
Sì l'esercizio era su un testo didattico e la risposta che ho citato era data senza commenti.
Visto che siamo in tema allargo il discorso al PdC più generale :
$y'=x^2 sqrt(y^2-1) $
$y(x_0)=y_0 $
La domanda è : per quali valori di $x_0,y_0 $ si ha soluzione ( non necessariamente unica )?
$x_0 in RR ; y_0>=1 , y_0<=-1 $ essendo $x^2 $ continua su tutto $RR$ e $sqrt(y^2-1)$ continua ove indicato.
L'ulteriore domanda è per quali valori di $x_0,y_0 $ si ha soluzione unica ?
$x_0 in RR ; y_0>1 , y_0<-1 $ in quanto nei punti $+-1 $ si ha che $sqrt(y^2-1) $ non è derivabile.
Corretto ?
Nessuno conferma o smentisce ?
Sulla prima domanda, la risposta è NO, non è errato.
Per lo meno non con la def canonica, che non prevede soluzioni di una equazione là dove non è definita
Resta il solito warning: il tutto dipende dalla definizione di soluzione massimale... Ad esempio una soluzione nel senso di Carathéodory è una funzione assolutamente continua che risolve quasi ovunque l'equazione differenziale (per la "f" di solito in questi casi si richiede solo una condizione di misurabilità rispetto alla "t"). Ma di solito queste cose si fanno un po' più in là, non nei corsi di base d'analisi. Vedasi:
Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
Noto anche una cosa: se "oltrepassiamo lo Stige", non abbiamo nessuna garanzia di avere l'unicità della soluzione massimale. Se hai tempo e voglia potresti provare se a sinistra di 0 ci sia più di una soluzione che si raccorda con la soluzione su (0, 3/2).
Per il resto, a bientôt
Per lo meno non con la def canonica, che non prevede soluzioni di una equazione là dove non è definita
Resta il solito warning: il tutto dipende dalla definizione di soluzione massimale... Ad esempio una soluzione nel senso di Carathéodory è una funzione assolutamente continua che risolve quasi ovunque l'equazione differenziale (per la "f" di solito in questi casi si richiede solo una condizione di misurabilità rispetto alla "t"). Ma di solito queste cose si fanno un po' più in là, non nei corsi di base d'analisi. Vedasi:
Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
Noto anche una cosa: se "oltrepassiamo lo Stige", non abbiamo nessuna garanzia di avere l'unicità della soluzione massimale. Se hai tempo e voglia potresti provare se a sinistra di 0 ci sia più di una soluzione che si raccorda con la soluzione su (0, 3/2).
Per il resto, a bientôt
Oltre lo Stige, cioè a sinistra di $x=0 $ c'è pure la soluzione costante $y=0 $ che si raccorda con la soluzione su $(0,3/2)$ ed anche , se non erro tutte le soluzioni del tipo $y=kx/(1-kx) $ che valgono $0 $ per $x=0 $ ,$k in RR$.
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