Problema di Cauchy di secondo grado
Ciao a tutti, ho questo problema di Cauchy teorico che non riesco a risolvere:
\(\displaystyle \begin{cases} \ddot{x}=f(x)\\ x(0)=x_{o}\\ \dot{x}(0)=v_{o}\end{cases} \)
Dove f è C1 e x0 e v0 appartengono a R.
Le scelte possibili sono:
A Per ogni x0 e v0 esiste un'unica soluzione
B Se f(x0)=0 allora la funzione costante è soluzione
La scelta A è vera, infatti le ipotesi del teorema locale di Cauchy sono soddisfatte, perchè la f è C1 quindi continua e localmente lipshitz.
Per la seconda ho provato a vedere il problema come un problema fisico, in cui x0 è la posizione iniziale, v0 è la velocità iniziale e l'accelerazione \(\displaystyle \ddot{x} \) è pari alla f(x).
Ora, se f(x0)=0 significa che l'accelerazione nella posizione iniziale è nulla e cioè il corpo è fermo o si muove a velocità costante. Questo mi fa pensare che anche la seconda scelta sia vera...
Guardando le soluzioni la seconda è falsa.
Come mai?
Grazie
\(\displaystyle \begin{cases} \ddot{x}=f(x)\\ x(0)=x_{o}\\ \dot{x}(0)=v_{o}\end{cases} \)
Dove f è C1 e x0 e v0 appartengono a R.
Le scelte possibili sono:
A Per ogni x0 e v0 esiste un'unica soluzione
B Se f(x0)=0 allora la funzione costante è soluzione
La scelta A è vera, infatti le ipotesi del teorema locale di Cauchy sono soddisfatte, perchè la f è C1 quindi continua e localmente lipshitz.
Per la seconda ho provato a vedere il problema come un problema fisico, in cui x0 è la posizione iniziale, v0 è la velocità iniziale e l'accelerazione \(\displaystyle \ddot{x} \) è pari alla f(x).
Ora, se f(x0)=0 significa che l'accelerazione nella posizione iniziale è nulla e cioè il corpo è fermo o si muove a velocità costante. Questo mi fa pensare che anche la seconda scelta sia vera...
Guardando le soluzioni la seconda è falsa.
Come mai?
Grazie
Risposte
La soluzione costante non verifica la condizione iniziale sulla derivata prima se $v_0$ non è zero...
È verooo! Grazie mille
Risolto
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