Problema di cauchy di primo ordine lineare

[enzo_87]

ciao a tutti, ho questo problema di cauchy che mi sta mettendo in crisi:

sia Yn la soluzione del problema di cauchy

$ y? = cos(y/n) +y +2x $
$ y(0) = 1 $

quali delle affermazioni è/sono certamente vera/e?

1- per ogni M>0 esiste N : per ogni n $ >= N $ Yn è definita su ]-M;M[
2 $ lim_(n ->+ oo ) Yn(1) = 4e -3 $


per il primo punto uso il teorema di caucy locale e dovrebbe essere a posto come ragionamento, in quanto la funzione è continua ed è anche derivabile, quindi localmente lipschitz. e se ho interpretato bene il primo punto chiede se ammette soluzione localmente.

ma per il secondo punto?
a me sembra che si debba risolvere con il metodo delle eq. differenziali lineari...ma mi mette in crisi quella funzione coseno.
come devo considerarla?mando prima a più infinito la n, in modo tale che mi si semplifica con 1 e poi provo a risolvere?
anche facendo così mi risulta una cosa del genere:

$ y(x) = e^(A(x)) int_()^() e^(-A(x)) b(x) dx $
con A(x) = x e b(x) =2x + 1

per cui mi risulterebbe: $ e^(x) int_()^() e^-(x) (2x + 1) dx $
$ e^x( -2xe^-x -2e^-x - e^-x +C) $
Yn= $ -2x -3 +Ce^x $
con $ C=4 $

Yn= $ -2x -3 +4e^x $

e $ Yn(1) = 4e-5 $ , quindi il secondo punto mi risulterebbe falso, è tutto giusto o ho sbagliato il ragionamento?

[gugo82]

Tieni presente che se \(y_n\) è la soluzione del tuo PdC allora, dato che \(\cos (\frac{y_n(x)}{n})\leq 1\), hai:
\[
y_n^\prime (x) -y_n(x)\leq 1+2x
\]
e perciò:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} [e^{-x}\ y_n(x)] \leq e^{-x}(1+2x)\; ;
\]
integrando su \([0,x]\) hai:
\[
e^{-x}\ y_n(x) - 1=\int_0^x \frac{\text{d}}{\text{d} t} [e^{-x}\ y_n(t)]\ \text{d} t \leq \int_0^x e^{-t}(1+2t)\ \text{d} t = 3 - (3+2x)e^x
\]
ossia:
\[
y_n(x)\leq 4e^x -3-2x\; .
\]
Per \(x=1\) dalla maggiorazione precedente ottieni immediatamente:
\[
y_n(1) \leq 4e-5
\]
e chiaramente \(4e-5<4e-3\)... Quindi vedi da te che non è proprio possibile che \(\lim_n y_n(1)=4e-3\)!

[enzo_87]

capito, io erroneamente ho messo l'=, mentre quello corretto è $ \leq$ , ma di ragionamento c'ero dai .

grazie mille