Problema di Cauchy del secondo ordine
Buongiorno,
Ho qualche difficoltà con un problema di Cauchy del secondo ordine nella seguente forma:
$\{(ddot x -(del)/(delt) * (2 * x / t) = 0), (x(1) = 1), (dot x(1) = 4):}$
Definita $\varphi : I rightarrow RR$ la soluzione massimale del problema di Cauchy. La richiesta è di verificare se le affermazioni proposte sono vere.
1) $\lim_(t->+infty) ((varphi(t))/t^2) = 3$
2) inf$\I = - infty$ (Perdonatemi, non ho trovato un simbolo adatto per inf)
Secondo la soluzione riportata la prima è vera e la seconda è falsa.
Io ho risolto l'esercizio ed ho dimostrato che la prima è effettivamente vera, ma la seconda non riesco a comprenderla a pieno. Da quanto ho capito la seconda dice in parole povere che il valore più piccolo dell'intorno $\I$ è pari a $\-oo$, ma appunto non riesco a dimostrarlo. L'unica cosa che mi è venuta in mente riguarda la Lipschitzianità della soluzione del problema di Cauchy (che altro non è che una parabola traslata), la quale, in quanto tale, non è Lipschitziana proprio agli infiniti. Quindi, se ho ben capito, l'intorno $\I$ non dovrebbe contenere al suo interno proprio gli infiniti. Grazie a chiunque voglia chiarire i miei dubbi in merito.
Ho qualche difficoltà con un problema di Cauchy del secondo ordine nella seguente forma:
$\{(ddot x -(del)/(delt) * (2 * x / t) = 0), (x(1) = 1), (dot x(1) = 4):}$
Definita $\varphi : I rightarrow RR$ la soluzione massimale del problema di Cauchy. La richiesta è di verificare se le affermazioni proposte sono vere.
1) $\lim_(t->+infty) ((varphi(t))/t^2) = 3$
2) inf$\I = - infty$ (Perdonatemi, non ho trovato un simbolo adatto per inf)
Secondo la soluzione riportata la prima è vera e la seconda è falsa.
Io ho risolto l'esercizio ed ho dimostrato che la prima è effettivamente vera, ma la seconda non riesco a comprenderla a pieno. Da quanto ho capito la seconda dice in parole povere che il valore più piccolo dell'intorno $\I$ è pari a $\-oo$, ma appunto non riesco a dimostrarlo. L'unica cosa che mi è venuta in mente riguarda la Lipschitzianità della soluzione del problema di Cauchy (che altro non è che una parabola traslata), la quale, in quanto tale, non è Lipschitziana proprio agli infiniti. Quindi, se ho ben capito, l'intorno $\I$ non dovrebbe contenere al suo interno proprio gli infiniti. Grazie a chiunque voglia chiarire i miei dubbi in merito.
Risposte
Ciao Thrank,
Benvenuto sul forum!
Mi pare di aver capito che tu sia riuscito a determinare che la soluzione dell'equazione differenziale ordinaria proposta è $ x(t) = c_2 t^2 + c_1 t $
Quindi, imponendo le condizioni iniziali $x(1) = 1 $ si ha $1 = x(1) = c_2 + c_1 \implies c_2 = 1 - c_1 $ e
$4 = \dot x(1) = 2c_2 + c_1 \implies c_1 = 4 - 2c_2 $ da cui $ c_2 = 1 - 4 + 2c_2 \implies c_2 = 3 \implies c_1 = - 2 $
Dunque la soluzione del PdC proposto è $\varphi(t) = 3t^2 - 2t $, per cui la 1) è banale...
Per quanto riguarda la 2) mi pare che sia scritta male ed in realtà sia $i n f [\varphi(t)] $ e tu stia cercando di dimostrare una cosa che tu stesso hai scritto che è falsa:
Benvenuto sul forum!
Mi pare di aver capito che tu sia riuscito a determinare che la soluzione dell'equazione differenziale ordinaria proposta è $ x(t) = c_2 t^2 + c_1 t $
Quindi, imponendo le condizioni iniziali $x(1) = 1 $ si ha $1 = x(1) = c_2 + c_1 \implies c_2 = 1 - c_1 $ e
$4 = \dot x(1) = 2c_2 + c_1 \implies c_1 = 4 - 2c_2 $ da cui $ c_2 = 1 - 4 + 2c_2 \implies c_2 = 3 \implies c_1 = - 2 $
Dunque la soluzione del PdC proposto è $\varphi(t) = 3t^2 - 2t $, per cui la 1) è banale...
Per quanto riguarda la 2) mi pare che sia scritta male ed in realtà sia $i n f [\varphi(t)] $ e tu stia cercando di dimostrare una cosa che tu stesso hai scritto che è falsa:
"Thrank":
Secondo la soluzione riportata la prima è vera e la seconda è falsa.
Beh, $"inf" I = 0$...
Innanzitutto vi ringrazio per le risposte! 
Sì, la prima l'ho risolta e sono arrivato alla tua stessa soluzione, che poi mi ha permesso di verificare immediatamente il limite proposto.
La seconda purtroppo è scritta proprio così, cioè vuole sapere un'informazione sul dominio della soluzione del problema di Cauchy e non sull'insieme immagine (Lo so perché ho già risolto un esercizio simile in cui la richiesta era su $\varphi(t)$ invece che su $\I$).
Questo era il mio dubbio, infatti, se ho ben capito, il dominio $\I$ è $\] 0, +oo [$, giusto?
"pilloeffe":[/quote]
Ciao Thrank,
Benvenuto sul forum!
Mi pare di aver capito che tu sia riuscito a determinare che la soluzione dell'equazione differenziale ordinaria proposta è $ x(t) = c_2 t^2 + c_1 t $
Quindi, imponendo le condizioni iniziali $ x(1) = 1 $ si ha $ 1 = x(1) = c_2 + c_1 \implies c_2 = 1 - c_1 $ e
$ 4 = \dot x(1) = 2c_2 + c_1 \implies c_1 = 4 - 2c_2 $ da cui $ c_2 = 1 - 4 + 2c_2 \implies c_2 = 3 \implies c_1 = - 2 $
Dunque la soluzione del PdC proposto è $ \varphi(t) = 3t^2 - 2t $, per cui la 1) è banale...
Per quanto riguarda la 2) mi pare che sia scritta male ed in realtà sia $ i n f [\varphi(t)] $ e tu stia cercando di dimostrare una cosa che tu stesso hai scritto che è falsa:
[quote="Thrank"]Secondo la soluzione riportata la prima è vera e la seconda è falsa.
Sì, la prima l'ho risolta e sono arrivato alla tua stessa soluzione, che poi mi ha permesso di verificare immediatamente il limite proposto.
La seconda purtroppo è scritta proprio così, cioè vuole sapere un'informazione sul dominio della soluzione del problema di Cauchy e non sull'insieme immagine (Lo so perché ho già risolto un esercizio simile in cui la richiesta era su $\varphi(t)$ invece che su $\I$).
"gugo82":
Beh, $ "inf" I = 0 $...
Questo era il mio dubbio, infatti, se ho ben capito, il dominio $\I$ è $\] 0, +oo [$, giusto?
Certo, per definizione di soluzione di una EDO.
Curiosità: come hai fatto a determinare l'integrale della EDO?
Curiosità: come hai fatto a determinare l'integrale della EDO?
Non sono molto pratico con le equazioni differenziali del secondo ordine, ma ho notato che, portando il secondo "fattore" a secondo membro ed integrando entrambi ho ottenuto un'equazione differenziale del primo ordine con una costante.
Ho determinato a questo punto la costante, con la prima condizione iniziale, ed ho risolto l'equazione differenziale del primo ordine, che altro non era che una lineare. Esistono altri metodi?
Ho determinato a questo punto la costante, con la prima condizione iniziale, ed ho risolto l'equazione differenziale del primo ordine, che altro non era che una lineare. Esistono altri metodi?
"Thrank":
La seconda purtroppo è scritta proprio così, cioè vuole sapere un'informazione sul dominio della soluzione del problema di Cauchy e non sull'insieme immagine
Vabbeh, ma non c'è problema: avevo immaginato che la richiesta fosse scritta male perché mi pareva troppo semplice, mentre invece mi sembrava (lievemente) più interessante determinare
[tex]\inf_{t \in I}\, [\varphi(t)][/tex]
cosa che comunque potresti fare per esercizio...
"Thrank":
Non sono molto pratico con le equazioni differenziali del secondo ordine, ma ho notato che, portando il secondo "fattore" a secondo membro ed integrando entrambi ho ottenuto un'equazione differenziale del primo ordine con una costante.
Già... Non l'avevo notato.
Grazie!
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