Problema di Cauchy del secondo ordine
Ragazzi mi aiutate a trovare la soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea del seguente problema di Cauchy?
$\{(y''-y'-6=sin x),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
Ho trovato già la soluzione generale dell'equazione omogenea associata considerando il polinomio caratteristico
$ \lambda^2 - \lambda = 0 $ ----> $y_0(x)=a + b e^x$ (essendo $\lambda_1=0$, $\lambda_1=1$)
Fin qui credo sia giusto, adesso non so come continuare.
$\{(y''-y'-6=sin x),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
Ho trovato già la soluzione generale dell'equazione omogenea associata considerando il polinomio caratteristico
$ \lambda^2 - \lambda = 0 $ ----> $y_0(x)=a + b e^x$ (essendo $\lambda_1=0$, $\lambda_1=1$)
Fin qui credo sia giusto, adesso non so come continuare.
Risposte
Ciao.
Quindi l'equazione sarebbe data da $y''-y'=6+sin x$
Per la parte non omogenea, devi cercare una soluzione del tipo
$y(x)=kx+c_1cosx+c_2sinx$
Saluti.
Quindi l'equazione sarebbe data da $y''-y'=6+sin x$
Per la parte non omogenea, devi cercare una soluzione del tipo
$y(x)=kx+c_1cosx+c_2sinx$
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Quindi l'equazione sarebbe data da $y''-y'=6+sin x$
Per la parte non omogenea, devi cercare una soluzione del tipo
$y(x)=kx+c_1cosx+c_2sinx$
Saluti.
Essendo il termine noto somma di $6+sinx$ e quindi di due funzioni, posso trovare le soluzioni particolari delle due funzioni separatamente giusto? E poi quella totale sarà la somma delle sue soluzioni. Adesso per quanto riguarda la funzione $sinx$ ho trovato la soluzione particolare, non riesco a trovarla per il termine $+6$, la soluzione da ricarcare di che tipo è ? Metto $kx$ e faccio il procedimento ?
"angelointi94":
Essendo il termine noto somma di $ 6+sinx $ e quindi di due funzioni, posso trovare le soluzioni particolari delle due funzioni separatamente giusto? E poi quella totale sarà la somma delle sue soluzioni. Adesso per quanto riguarda la funzione $ sinx $ ho trovato la soluzione particolare, non riesco a trovarla per il termine $ +6 $, la soluzione da ricarcare di che tipo è ? Metto $ kx $ e faccio il procedimento ?
Dovrebbe funzionare anche così, data la linearità dell'operatore derivata.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="angelointi94"]
Essendo il termine noto somma di $ 6+sinx $ e quindi di due funzioni, posso trovare le soluzioni particolari delle due funzioni separatamente giusto? E poi quella totale sarà la somma delle sue soluzioni. Adesso per quanto riguarda la funzione $ sinx $ ho trovato la soluzione particolare, non riesco a trovarla per il termine $ +6 $, la soluzione da ricarcare di che tipo è ? Metto $ kx $ e faccio il procedimento ?
Dovrebbe funzionare anche così, data la linearità dell'operatore derivata.
Saluti.[/quote]
L'integrale generale dell'equazione mi viene così $y(x)=a+be^x-6x+1/2cosx-1/2 sinx$
Potrebbe andare ?
"angelointi94":
L'integrale generale dell'equazione mi viene così $y(x)=a+be^x-6x+1/2cosx-1/2 sinx$
Potrebbe andare ?
Effettua la prova, sostituendo l'integrale generale nell'equazione differenziale data e controllando che l'uguaglianza risulti sempre vera.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="angelointi94"]
L'integrale generale dell'equazione mi viene così $y(x)=a+be^x-6x+1/2cosx-1/2 sinx$
Potrebbe andare ?
Effettua la prova, sostituendo l'integrale generale nell'equazione differenziale data e controllando che l'uguaglianza risulti sempre vera.
Saluti.[/quote]
Perfetto risulta, grazie mille
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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