Problema di Cauchy del secondo ordine

[zardo1992]

Buongiorno a tutti.
Ho tentato invano di risolvere il seguente problema di Cauchy.
\begin{cases} y''-2xy'(x) = 2x\\
y(0) = 0\end{cases}

Ho provato a risolvere trovando le soluzioni dell'associata omogeneo solo che poi non so come comportarmi, avendo ancora termini in $x$!

[rino6999]

scusa,ma io vedo una sola condizione iniziale
non è che per caso l'equazione sia
$y'-2xy=2x$ ?

se invece l'equazione è giusta,il problema manca della condizione iniziale sulla y'

[gugo82]

@ zardo1992: Nota che introducendo la variabile ausiliaria \(u(x):=y^\prime (x)\), la EDO si trasforma in una EDO ausiliaria del primo ordine:
\[
u^\prime (x) - 2x\ u(x) =2x\; ,
\]
la quale si risolve per quadrature; una volta risolta la EDO ausiliaria, cioé determinata esplicitamente la \(u(x)\), sempre per quadrature riesci a determinare la \(y(x)\), poiché tale funzione soddisfa \(y^\prime (x)=u(x)\) (perciò essa è una primitiva di \(u(x)\)).

[zardo1992]

ti ringrazio sei stai molto gentile.