Problema di Cauchy del quarto ordine
Ehi gente 
potreste aiutarmi con questo problema di Cauchy ?
$ { ( y^((4))(x)+2y^((2))(x)+y(x)=sin(omega x )),( y(0)=y^((2))(0)=0 ):} $
Innanzitutto risolvo l'omogenea. Il polinomio caratteristico è $ lambda ^4+lambda ^2+1=0 $ . Con Ruffini ho trovato le soluzioni, che sono +i con molteplicità 2 e -i con molteplicità 2. La soluzione dell'omogenea dovrebbe essere $ yO(x)= c1 e^(alpha x)cos(beta x)+c2xe^(alpha x)cosbeta x $$ +c3e^(alpha x)sin beta x+c4 xe^(alpha x)sinbeta x=c1cosx + c2 x cos x + c3 sin x+c4xsinx$. Adesso vado a vedere di che tipo è g(x)= $ sinomega x $ ,e vedo che la soluzione corrispondente è $ bar(y) (x)=cosomegax bar(Q) (x)+sinomega xR(x)=cosomega xA+sinomega xB $ . Vado a derivare fino al quarto ordine:
$ bar(y) '(x)=-Aomega sinomega x+Bomega cosomega x $
$ bar(y) ''(x)=-Aomega^2 cosomega x-Bomega^2 sinomega x $
$ bar(y) ^((3))(x)=Aomega^3 sinomega x-Bomega^3 cosomega x $
$ bar(y) ^((4))(x)=Aomega^4 cosomega x+Bomega^4 sinomega x $ .
Sostituisco nell'equazione differenziale iniziale: $ Aomega ^4cosomega x+Bomega ^4sinomega x+2(-Aomega ^2cosomega x-Bomega ^2sinomega x)+Acosomega x+Bsinomega x=sinomega x $ .
Poi prendo i termini con il coseno e eguaglio i loro valori: $ Aomega ^4-2Aomega ^2+A=0 $ da cui $ A=0 $ e faccio la stessa cosa con i termini col seno: $ Bomega ^4-2Bomega ^2+B=1 $ da cui $ B=1/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Quindi sostituisco A e B appena trovati in $ bar(y)(x) $ e ottengo $ sin(omegax)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Trovo la soluzione dell'equazione differenziale facendo $ yO(x)+bar(y) (x)=c1cosx+c2xcosx+c3sinx+c4xsinx+sin(omega x)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Poi applico le condizioni di Cauchy che sono $ y(0)=0 $ e $ y^((2))(0)=0 $ .
La prima mi dà $ c1+c2=0 $ quindi $ c1=-c2 $ . La seconda la devo applicare alla derivata seconda (la quale è $ -c1cosx-c2sinx-c2sinx-c2xcosx-c3sinx+c4cosx-c4xsinx+(omega ^2sinx)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ ) e ottengo $ c1=c4 $ . Ma adesso non ho risolto niente perché non ho trovato i valori di c1,c2,c3,c4... qualcuno può dirmi se ho sbagliato da qualche parte o cosa dovrei fare adesso arrivata a questo punto?
potreste aiutarmi con questo problema di Cauchy ?$ { ( y^((4))(x)+2y^((2))(x)+y(x)=sin(omega x )),( y(0)=y^((2))(0)=0 ):} $
Innanzitutto risolvo l'omogenea. Il polinomio caratteristico è $ lambda ^4+lambda ^2+1=0 $ . Con Ruffini ho trovato le soluzioni, che sono +i con molteplicità 2 e -i con molteplicità 2. La soluzione dell'omogenea dovrebbe essere $ yO(x)= c1 e^(alpha x)cos(beta x)+c2xe^(alpha x)cosbeta x $$ +c3e^(alpha x)sin beta x+c4 xe^(alpha x)sinbeta x=c1cosx + c2 x cos x + c3 sin x+c4xsinx$. Adesso vado a vedere di che tipo è g(x)= $ sinomega x $ ,e vedo che la soluzione corrispondente è $ bar(y) (x)=cosomegax bar(Q) (x)+sinomega xR(x)=cosomega xA+sinomega xB $ . Vado a derivare fino al quarto ordine:
$ bar(y) '(x)=-Aomega sinomega x+Bomega cosomega x $
$ bar(y) ''(x)=-Aomega^2 cosomega x-Bomega^2 sinomega x $
$ bar(y) ^((3))(x)=Aomega^3 sinomega x-Bomega^3 cosomega x $
$ bar(y) ^((4))(x)=Aomega^4 cosomega x+Bomega^4 sinomega x $ .
Sostituisco nell'equazione differenziale iniziale: $ Aomega ^4cosomega x+Bomega ^4sinomega x+2(-Aomega ^2cosomega x-Bomega ^2sinomega x)+Acosomega x+Bsinomega x=sinomega x $ .
Poi prendo i termini con il coseno e eguaglio i loro valori: $ Aomega ^4-2Aomega ^2+A=0 $ da cui $ A=0 $ e faccio la stessa cosa con i termini col seno: $ Bomega ^4-2Bomega ^2+B=1 $ da cui $ B=1/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Quindi sostituisco A e B appena trovati in $ bar(y)(x) $ e ottengo $ sin(omegax)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Trovo la soluzione dell'equazione differenziale facendo $ yO(x)+bar(y) (x)=c1cosx+c2xcosx+c3sinx+c4xsinx+sin(omega x)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ .
Poi applico le condizioni di Cauchy che sono $ y(0)=0 $ e $ y^((2))(0)=0 $ .
La prima mi dà $ c1+c2=0 $ quindi $ c1=-c2 $ . La seconda la devo applicare alla derivata seconda (la quale è $ -c1cosx-c2sinx-c2sinx-c2xcosx-c3sinx+c4cosx-c4xsinx+(omega ^2sinx)/(omega ^4-2omega ^2+1) $ ) e ottengo $ c1=c4 $ . Ma adesso non ho risolto niente perché non ho trovato i valori di c1,c2,c3,c4... qualcuno può dirmi se ho sbagliato da qualche parte o cosa dovrei fare adesso arrivata a questo punto?
Risposte
"unicorno":
Innanzitutto risolvo l'omogenea. Il polinomio caratteristico è λ4+λ2+1=0 .
è sbagliato. a me esce $lambda^4+2lamda^2+1=0$
adesso dovresti ricontrollare la soluzione particolare.
per le costanti ho avuto lo stesso dubbio in un esercizio poco fa. a me sembra manchino delle condizioni al massimo puoi esprimere le due costanti rispetto a quello che hai trovato e lasciare le altre.
Ah no è che ho sbagliato a scrivere qua, ma i risultati +i e -i li ho trovati dall'equazione che hai scritto tu, cioè $ lambda ^4+2lambda ^2+1=0 $ . Si infatti ci pensavo anche io, ci dovrebbero essere 4 condizioni, invece ce ne sono solo due..
"Bunnyy":
ci dovrebbero essere 4 condizioni,
ne servono 3. in generale serve che la funzione sia definita per tutti gli ordini fino a $n-1$. nel caso in questione $y, y', y'', y^(3)$
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