Problema di cauchy del primo ordine

[ludwigZero]

buonasera a tutti
ho questo problema di cauchy:


$y' cos x + y sin x = e^x cos^2 x$

$y(0)= 0$

la riscrivo:

$y' + y tg x = e^x cos x$

$y' = - y tg x + e^x cos x$

l'associata: $y' = - y tg $

$y = c e^(\int -tg x dx) = c cos x$

il resto della soluzione:

$y(x) = e^(\int -tg x dx)(y_{0} + \int_{0}^{x} e^(\int_{0}^{t} tg s ds) e^t cos t dt) = e^(\int -tg x dx) (y_{0}+ \int_{0}^{x} e^(-log cos t) e^t cos t dt) = c cos x (\int_{0}^{x} e^t dt) = c cos x e^x$

dice wolfram che dovrebbe venire:

$y(x) = c cos x + e^x cos x $

invece a me viene:

$y(x) = c cos x (y_{0} + e^x) = c cos x (e^x) $ e quindi sommando le due soluzioni (omegenea associata + omogenea):

$y(x) = c cos x + c cos x (e^x)$

ma non credo sia cosi....

forse sono poco lucido ma credo il procedimento sia corretto. aspetto qualche vostro chiarimento.

[ciampax]

$\int_0^x e^t\ dt=e^x-1$...