Problema di Cauchy del primo ordine
Buongiorno a tutti,
mi ritrovo di fronte ad un esercizio del quale non riesco a venire a capo, addirittura nella risoluzione dell'equazione differenziale.
L'esercizio recita:
sia $\varphi: I rightarrow RR$ la soluzione massimale del seguente problema di Cauchy:
$\{(dot x = (4-x)(arctanx)^2), (x(0) = 1):}$
e pone due affermazioni delle quali bisogna dire se sono vere oppure false.
1) $\I != RR$
2) $\varphi$ è strettamente crescente.
Ho provato innanzitutto a risolvere l'equazione differenziale, che è a variabili separabili, ma ho difficoltà appunto a trovare la soluzione. L'unica via mi sembra utilizzare lo sviluppo di Maclaurin, ma anche in quel caso non riesco a trovare la costante c. Suppongo che per poter rispondere ad entrambe le domande sia necessario trovare la soluzione del problema di Cauchy.
La seconda richiesta ho provato a risolverla senza addentrarmi nella risoluzione del problema di Cauchy, ma osservanto la $\f(t, x)$ che altro non dovrebbe essere che la derivata della soluzione $\varphi$, se non sbaglio. Tuttavia in qeusto caso la funzione non mi risulta strettamente crescente.
So che stavolta la spiegazione è più confusa, ma purtroppo mi sono proprio bloccato
mi ritrovo di fronte ad un esercizio del quale non riesco a venire a capo, addirittura nella risoluzione dell'equazione differenziale.
L'esercizio recita:
sia $\varphi: I rightarrow RR$ la soluzione massimale del seguente problema di Cauchy:
$\{(dot x = (4-x)(arctanx)^2), (x(0) = 1):}$
e pone due affermazioni delle quali bisogna dire se sono vere oppure false.
1) $\I != RR$
2) $\varphi$ è strettamente crescente.
Ho provato innanzitutto a risolvere l'equazione differenziale, che è a variabili separabili, ma ho difficoltà appunto a trovare la soluzione. L'unica via mi sembra utilizzare lo sviluppo di Maclaurin, ma anche in quel caso non riesco a trovare la costante c. Suppongo che per poter rispondere ad entrambe le domande sia necessario trovare la soluzione del problema di Cauchy.
La seconda richiesta ho provato a risolverla senza addentrarmi nella risoluzione del problema di Cauchy, ma osservanto la $\f(t, x)$ che altro non dovrebbe essere che la derivata della soluzione $\varphi$, se non sbaglio. Tuttavia in qeusto caso la funzione non mi risulta strettamente crescente.
So che stavolta la spiegazione è più confusa, ma purtroppo mi sono proprio bloccato
Risposte
Prima di metterti a integrare, nota che hai due soluzioni stazionarie: \(x=0, x=4\)...
Ciao Thrank,
Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi: https://www.youtube.com/watch?v=QirINjNr-9s)... Anche perché quell'integrale non può essere risolto in termini di funzioni matematiche standard...
"Thrank":
Suppongo che per poter rispondere ad entrambe le domande sia necessario trovare la soluzione del problema di Cauchy.
Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi: https://www.youtube.com/watch?v=QirINjNr-9s)... Anche perché quell'integrale non può essere risolto in termini di funzioni matematiche standard...
Quel video di Crozza mi fa sempre morire di risate
"dissonance":
Prima di metterti a integrare, nota che hai due soluzioni stazionarie: \(x=0, x=4\)...
Ok, ma non riesco a capire come tutto ciò possa aiutarmi nella risoluzione
L'esercizio come soluzione dà la prima falsa e la seconda vera.
Il problema è che guardando la $\f(t,x)$, che dovrebbe essere la derivata prima della soluzione, non ottengo una funzione strettamente crescente (cioè che, a scanso di equivoci, dovrebbe crescere sempre), ma una funzione che cresce e decresce. Il primo punto invece come lo posso risolvere? Devo vedere i limiti della derivata prima a $\+oo$ e $\-oo$?
La tua soluzione parte da \(1\), che è compreso tra \(0\) e \(4\). Può essa uscire dalla striscia \([0, 4]\)? Non può, perché se lo facesse intersecherebbe una soluzione costante, e per il teorema di unicità...
Sei sicuro di avere digerito bene la teoria?
Sei sicuro di avere digerito bene la teoria?
"dissonance":
La tua soluzione parte da \(1\), che è compreso tra \(0\) e \(4\). Può essa uscire dalla striscia \([0, 4]\)? Non può, perché se lo facesse intersecherebbe una soluzione costante, e per il teorema di unicità...
Sei sicuro di avere digerito bene la teoria?
Dovrei averla digerita e infatti non mi torna la soluzione data dal professore. Se tu mi dici che $\I$ è compreso tra $\[0,4]$ allora la prima affermazione, cioè $\I != RR$ è necessariamente vera, quando il professore invece afferma che sia falsa.
Da quanto ho capito la prima dovrebbe essere falsa se e solo se $\I$ coincide con tutto $\RR$, giusto? Mi confermi allora che è sbagliata la soluzione?
Assolutamente no! E' la \(x\) che è compresa tra \(0\) e \(4\), non la \(t\). Per cessare di esistere in tempo finito, la soluzione dovrebbe poter esplodere, ma essa è intrappolata tra le due soluzioni costanti e quindi non può. Pertanto, la soluzione è globale, ovvero, \(I=\mathbb R\).
Se hai bisogno di maggiori informazioni su questo tipo di ragionamenti, a me piace il libro di Hubbard e West:
http://lya.fciencias.unam.mx/jele/EDOs2 ... 20West.pdf
(primo capitolo), oppure il libro di Teschl:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ft ... de/ode.pdf
specialmente la sezione 1.5.
http://lya.fciencias.unam.mx/jele/EDOs2 ... 20West.pdf
(primo capitolo), oppure il libro di Teschl:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ft ... de/ode.pdf
specialmente la sezione 1.5.
Grazie 
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