Problema di Cauchy, condizione funzione pari???
Ciao a tutti,
mi son trovato a dover risolvere questo esercizio
$ y''-2y'+y=e^x $
per cui
$ y(x)e^-x $ sia una funzione pari.
Arrivo fino alla soluzione della omogenea associata e della affine trovando come risultato
$ y(x)=c_1e^x+c_2xe^x $
[correggetemi se ho già sbagliato
]
A questo punto dovrei utilizzare le condizioni iniziali per poter calcolare i due coeff.
$ c_1 $ e $ c_2 $
Sapendo che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari, ottengo
$ f'(x)=-f'(-x) $
...ma non so cosa fare o come applicarlo al mio caso
mi son trovato a dover risolvere questo esercizio
$ y''-2y'+y=e^x $
per cui
$ y(x)e^-x $ sia una funzione pari.
Arrivo fino alla soluzione della omogenea associata e della affine trovando come risultato
$ y(x)=c_1e^x+c_2xe^x $
[correggetemi se ho già sbagliato
]A questo punto dovrei utilizzare le condizioni iniziali per poter calcolare i due coeff.
$ c_1 $ e $ c_2 $
Sapendo che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari, ottengo
$ f'(x)=-f'(-x) $
...ma non so cosa fare o come applicarlo al mio caso
Risposte
A intuito, non ho mai fatto questo tipo di esercizio, userei non tanto la derivata, quanto la definizione di funzione pari.
Ho calcolato $ y(x)e^-x= (c1e^x+c2xe^x+e^-x)e^-x= c1+c2x+1 $
Cioè mi viene una retta, che può essere pari solo se è una costante, quindi dovrebbe essere c2=0. Spero di non aver detto fesserie.
Non ho controllato se la soluzione che tu hai trovato è effettivamente quella. Tu l'hai fatto?
Ho calcolato $ y(x)e^-x= (c1e^x+c2xe^x+e^-x)e^-x= c1+c2x+1 $
Cioè mi viene una retta, che può essere pari solo se è una costante, quindi dovrebbe essere c2=0. Spero di non aver detto fesserie.
Non ho controllato se la soluzione che tu hai trovato è effettivamente quella. Tu l'hai fatto?
Però una soluzione costante non funziona, c'è qualcosa che non va
"gabriella127":
A intuito, non ho mai fatto questo tipo di esercizio, userei non tanto la derivata, quanto la definizione di funzione pari.
Ho calcolato $ y(x)e^-x= (c1e^x+c2xe^x+e^-x)e^-x= c1+c2x+1 $
Cioè mi viene una retta, che può essere pari solo se è una costante, quindi dovrebbe essere c2=0. Spero di non aver detto fesserie.
Non ho controllato se la soluzione che tu hai trovato è effettivamente quella. Tu l'hai fatto?
Scusa, ho sbagliato! [ho già corretto il post]
La soluzione corretta è
$ y(x)=c_1e^x+c_2xe^x $
quindi come hai calcolato tu verrebbe fuori
$ y(x)e^-x= (c_1e^x+c_2xe^x)e^-x= c_1+c_2x $
Allora per la definizione di funzione pari
$ f(x)= c_1+c_2x $
e
$ f(-x)= c_1-c_2x $
quindi
$ c_2=0 $
$ c_1= qualsiasi $
Per quello che sento nel cuore, il procedimento è giusto (ma dimmi la tua opinione) ma c'è qualcosa che non va nei calcoli, ma il cuore può sentire scemenze. Ora sono cotta, provo a fare i calcoli domani sperando in un momento di tempo.
Innanzitutto, bisogna determinare l'integrale generale della EDO, poi imporre la condizione di parità.
L'integrale generale della EDO è:
\[
y(x) = c_1\ e^x+c_2\ x\ e^x+\frac{1}{2}\ x^2\ e^x\; ,
\]
quindi:
\[
y(x)\ e^{-x} = c_1+c_2\ x+\frac{1}{2}\ x^2
\]
e quest'ultima è una funzione pari se e solo se \(c_2=0\).
Dunque la soluzione del tuo problema è una qualsiasi funzione della famiglia:
\[
y(x)=c_1\ e^x+\frac{1}{2}\ x^2\ e^x
\]
con \(c_1\in \mathbb{R}\).
Nota di carattere generale.
Hai un'unica condizione, perciò non puoi sperare di determinare ambo le costanti. Inoltre, anche derivando, ottieni una condizione sulla derivata che, in un certo senso, è dipendente da quella imposta alla funzione; ergo essa non ti può aiutare nella determinazione della costante (così come due equazioni lineari dipendenti non ti consentono di determinare due incognite).
L'integrale generale della EDO è:
\[
y(x) = c_1\ e^x+c_2\ x\ e^x+\frac{1}{2}\ x^2\ e^x\; ,
\]
quindi:
\[
y(x)\ e^{-x} = c_1+c_2\ x+\frac{1}{2}\ x^2
\]
e quest'ultima è una funzione pari se e solo se \(c_2=0\).
Dunque la soluzione del tuo problema è una qualsiasi funzione della famiglia:
\[
y(x)=c_1\ e^x+\frac{1}{2}\ x^2\ e^x
\]
con \(c_1\in \mathbb{R}\).
Nota di carattere generale.
Hai un'unica condizione, perciò non puoi sperare di determinare ambo le costanti. Inoltre, anche derivando, ottieni una condizione sulla derivata che, in un certo senso, è dipendente da quella imposta alla funzione; ergo essa non ti può aiutare nella determinazione della costante (così come due equazioni lineari dipendenti non ti consentono di determinare due incognite).
Grazie gugo82, supponevo che c'era un errore nella soluzione della EDO, ma non avevo la forza di rifarla (giornate pesanti!) 
Grazie sia a gabriella127 che a gugo82, preziosissimi 
Perfetto, trovato come risolvere la condizione imposta di funzione pari.
Mi è sorto un dubbio sulla risoluzione delle EDO, a questo punto, visto che l'ho sbagliata per ben 2 volte:
io utilizzavo un metodo empirico che cerca la soluzione impostando una soluzione generica
$ z(x)=ke^x $
da cui
$ z'(x)=ke^x $
e
$ z''(x)=ke^x $
poi sostituisco nella eq. diff. ottenendo
$ ke^x(1-2+1)=e^x $
da cui mi ricaverei il valore di k
Siccome in questo caso il valore tra parentesi viene =0 allora il metodo non è applicabile?
Ho visto che procedendo con il metodo "lungo" ottengo i valori indicati da gugo82
Perfetto, trovato come risolvere la condizione imposta di funzione pari.
Mi è sorto un dubbio sulla risoluzione delle EDO, a questo punto, visto che l'ho sbagliata per ben 2 volte:
io utilizzavo un metodo empirico che cerca la soluzione impostando una soluzione generica
$ z(x)=ke^x $
da cui
$ z'(x)=ke^x $
e
$ z''(x)=ke^x $
poi sostituisco nella eq. diff. ottenendo
$ ke^x(1-2+1)=e^x $
da cui mi ricaverei il valore di k
Siccome in questo caso il valore tra parentesi viene =0 allora il metodo non è applicabile?
Ho visto che procedendo con il metodo "lungo" ottengo i valori indicati da gugo82
Scusami, non capisco, il metodo empirico di cui parli serve a cercare cosa? La soluzione particolare della non omogenea?
preziosissimi
Grazie a te!
Grazie a te!
Neanche io capisco questo "metodo empirico".
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