Problema di Cauchy con valore assoluto
Salve a tutti, eccomi tornato con un altro esercizietto, stavolta in preparazione per l'esame di Analisi Matematica I
Determinare la soluzione $\phi(x)$ del problema di Cauchy:
$\{(y' + |y-1| = -e^x),(y(0)=1):}$
Nello svolgimento ho notato per prima cosa che la la soluzione $\phi(x)$ soddisfa l'equazione differenziale per cui posso scrivere:
la soluzione $\phi'(x)=-|\phi(x)-1|-e^x$, da cui ottengo un'altra informazione, cioè che la $\phi(x)$, avendo derivata prima minore di zero, decresce. Poi ho anche la condizione 2 cioè che la $\phi(x)$ vale 1 in 0.
Per cui $|\phi(x)-1|={(\phi(x)-1, if \phi(x)>1),(1-\phi(x), if \phi(x)<1):}$
Cioè considerando l'andamento decrescente della funzione $\phi(x)$ il primo caso è per x<0 e il secondo per x>0.
Vado quindi a risolvere le due equazioni differenziali lineari col metodo di Lagrange; la prima $y' + y =1-e^x$ mi dà come integrale generale $1-1/2e^x+1/2e^(-x)$(dopo aver usato anche la condizione $y(0)=1$ per determinare la costante c) ; la seconda $y' - y =-1-e^x$ mi dà $1-xe^x$.
Quindi la soluzione $\phi(x)={(1-1/2e^x+1/2e^(-x),if x<0),(1-xe^x,if x>=0):}$.
L'ho svolto correttamente secondo voi?
Determinare la soluzione $\phi(x)$ del problema di Cauchy:
$\{(y' + |y-1| = -e^x),(y(0)=1):}$
Nello svolgimento ho notato per prima cosa che la la soluzione $\phi(x)$ soddisfa l'equazione differenziale per cui posso scrivere:
la soluzione $\phi'(x)=-|\phi(x)-1|-e^x$, da cui ottengo un'altra informazione, cioè che la $\phi(x)$, avendo derivata prima minore di zero, decresce. Poi ho anche la condizione 2 cioè che la $\phi(x)$ vale 1 in 0.
Per cui $|\phi(x)-1|={(\phi(x)-1, if \phi(x)>1),(1-\phi(x), if \phi(x)<1):}$
Cioè considerando l'andamento decrescente della funzione $\phi(x)$ il primo caso è per x<0 e il secondo per x>0.
Vado quindi a risolvere le due equazioni differenziali lineari col metodo di Lagrange; la prima $y' + y =1-e^x$ mi dà come integrale generale $1-1/2e^x+1/2e^(-x)$(dopo aver usato anche la condizione $y(0)=1$ per determinare la costante c) ; la seconda $y' - y =-1-e^x$ mi dà $1-xe^x$.
Quindi la soluzione $\phi(x)={(1-1/2e^x+1/2e^(-x),if x<0),(1-xe^x,if x>=0):}$.
L'ho svolto correttamente secondo voi?
Risposte
Ok! 
Grazie mille gugo82. Posso chiederti aiuto per un altro esercizio? L'ho preso da uno degli ultimi appelli ed è sempre un problema ai valori iniziali con valore assoluto.
Determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y''+|y+1| =-e^x),(y(0)=-1),(y'(0)=0):}$
Ho iniziato ragionando analogamente al problema precedente, cioé che $\phi''(x)$ è sempre minore di zero quindi la derivata prima è decrescente. Però non so come concludere sul segno della $\phi(x)$ e quindi non posso dividere il valore assoluto nei vari casi. Mi sfugge l'anello di collegamento fra la funzione e le sue derivate...mi date qualche suggerimento?
Determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y''+|y+1| =-e^x),(y(0)=-1),(y'(0)=0):}$
Ho iniziato ragionando analogamente al problema precedente, cioé che $\phi''(x)$ è sempre minore di zero quindi la derivata prima è decrescente. Però non so come concludere sul segno della $\phi(x)$ e quindi non posso dividere il valore assoluto nei vari casi. Mi sfugge l'anello di collegamento fra la funzione e le sue derivate...mi date qualche suggerimento?
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