Problema di cauchy con theorema globale di cauchy
ciao a tutti, ho il seguente esercizio da risolvere:
data la funzione f: R-->R definita da f(x) = (1/5)sen(exp(exp(x))) , si consideri il problema di cauchy $ { ( x'=f(x) ),( x(0)= x0:} $ , allora
1) f è sublineare e il problema di cauchy ammette un'unica soluzione per ogni x0 appartenente ad R
2) f non è globalmente lipschitz ma il problema di cauchy ammette un'unica soluzione su tutto R per ogni x0 appartenente a R.
io ho cominciato ad applicate le ipotesi del teorema di cauchy locale e ho trovato:
- f è continua
-derivata di f rispetto ad x : $ f(x) = (1/5) sin(5e^{e^{x} }) $
$ f'(x) = (1/5) cos(5e^{e^{x} }) * 5e^{x} *e^{e^{x} } $
il modulo $ |f'(x) | = |(1/5) cos(5e^{e^{x} }) * 5e^{x} *e^{e^{x} } | <= |e^{x}e^{e^{x} } | $
e quindi non è una quantita loc lipschitz e dunque non lo è neanche globalmente.
il teorema di cauchy locale quindi non lo posso applicare, e neanche quello globale.
calcolo se è sublineare e mi risulta: $ |1/5sen(5e^{e^{x} } )| <= 1/5 $ e quindi è sublineare.
a questo punto però io mi fermo e non so proseguire. seguendo una "soluzione" mi dice che devo trovare le soluzioni stazionarie, ossia f(x) = 0 :
$ 1/5sen(5e^{e^{x} } ) = 0 $ $ 1/5sen(5e^{e^{x} } ) = 0 hArr 5e^{e^{x} } = pi $
in quanto l'argomento del sen non è mai uguale a zero.
ma ora, come posso trovare la x, e poi, come posso dire se esiste la soluzione su tutto R???
data la funzione f: R-->R definita da f(x) = (1/5)sen(exp(exp(x))) , si consideri il problema di cauchy $ { ( x'=f(x) ),( x(0)= x0:} $ , allora
1) f è sublineare e il problema di cauchy ammette un'unica soluzione per ogni x0 appartenente ad R
2) f non è globalmente lipschitz ma il problema di cauchy ammette un'unica soluzione su tutto R per ogni x0 appartenente a R.
io ho cominciato ad applicate le ipotesi del teorema di cauchy locale e ho trovato:
- f è continua
-derivata di f rispetto ad x : $ f(x) = (1/5) sin(5e^{e^{x} }) $
$ f'(x) = (1/5) cos(5e^{e^{x} }) * 5e^{x} *e^{e^{x} } $
il modulo $ |f'(x) | = |(1/5) cos(5e^{e^{x} }) * 5e^{x} *e^{e^{x} } | <= |e^{x}e^{e^{x} } | $
e quindi non è una quantita loc lipschitz e dunque non lo è neanche globalmente.
il teorema di cauchy locale quindi non lo posso applicare, e neanche quello globale.
calcolo se è sublineare e mi risulta: $ |1/5sen(5e^{e^{x} } )| <= 1/5 $ e quindi è sublineare.
a questo punto però io mi fermo e non so proseguire. seguendo una "soluzione" mi dice che devo trovare le soluzioni stazionarie, ossia f(x) = 0 :
$ 1/5sen(5e^{e^{x} } ) = 0 $ $ 1/5sen(5e^{e^{x} } ) = 0 hArr 5e^{e^{x} } = pi $
in quanto l'argomento del sen non è mai uguale a zero.
ma ora, come posso trovare la x, e poi, come posso dire se esiste la soluzione su tutto R???
Risposte
Ma anche no.
La lipschitzianità locale ce l'hai necessariamente, dato che il tuo secondo membro è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\).
Per quanto riguarda la prolungabilità globale degli integrali, basta applicare il Teorema di Estensione Globale che trovi in queste dispense, pag. 37.
La lipschitzianità locale ce l'hai necessariamente, dato che il tuo secondo membro è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\).
Per quanto riguarda la prolungabilità globale degli integrali, basta applicare il Teorema di Estensione Globale che trovi in queste dispense, pag. 37.
scusami ma non ti seguo, ok che l mia funzione appartiene a C∞(R), ma, come fa ad essere limitata questa quantità scusa? $ |e^{e^{x} }e^{x} | $ ??
i mezzi a mia disposizione(ossia quelli dati dal professore) sono la definizione di funzione localmente lipschitz , ossia, f:IxA --->R^n,una funzione è localmente lipschitz in x appartenente ad A uniformemente in t appartenente ad I, per definizione se per ogni t0 appartenente ad I, per ogni xo appartente ad A esiste r>o, esiste L>o tale che:
$ || ( f(x2;t) - f(x1;t) ) || <= L || ( x2-x1 ) || $ per ogni t apparteneten a (to -r, to+r), per ogni x appartenente a B(x0,r)
e nelle esercitazioni la profe ci ha detto di calcolare la derivata e vedere se è limitata(detto brutalmente).
sicuramente la risposta è semplice e il mio errore banale.
per le dispense postate sarò sincero: me le studio con calma. ora mi sembrano solo lettere messe a caso è non riesco a decifrarle. sarà il nervoso!
chiedo scusa se dico cavolate
i mezzi a mia disposizione(ossia quelli dati dal professore) sono la definizione di funzione localmente lipschitz , ossia, f:IxA --->R^n,una funzione è localmente lipschitz in x appartenente ad A uniformemente in t appartenente ad I, per definizione se per ogni t0 appartenente ad I, per ogni xo appartente ad A esiste r>o, esiste L>o tale che:
$ || ( f(x2;t) - f(x1;t) ) || <= L || ( x2-x1 ) || $ per ogni t apparteneten a (to -r, to+r), per ogni x appartenente a B(x0,r)
e nelle esercitazioni la profe ci ha detto di calcolare la derivata e vedere se è limitata(detto brutalmente).
sicuramente la risposta è semplice e il mio errore banale.
per le dispense postate sarò sincero: me le studio con calma. ora mi sembrano solo lettere messe a caso è non riesco a decifrarle. sarà il nervoso!
chiedo scusa se dico cavolate
"enzo_87":
scusami ma non ti seguo, ok che l mia funzione appartiene a C∞(R), ma, come fa ad essere limitata questa quantità scusa?
Infatti non è globalmente limitata, bensì localmente limitata.
Per quanto riguarda la lipschitzianità, leggi le osservazioni di dissonance e mie in questo thread.
E calmati, che essere agitati non fa bene allo studio.
hai perfettamente ragione, ma tra idraulica, fisica due e analisi due, oltre ai capelli sto perdendo la pazienza...
comunque, se ho capito bene allora per lipschitzianità globale si intende la definizione di funzione lipshitz, e a questo si applica la derivata limitiata.
invece se una funzione è continua e lo è anche la sua derivata, considerando un insieme, compatto (giusto?), allora la funzione è localmente lipschitz per forza di cose.
spero di aver capito bene stavolta. ti ringrazio per la disponibilità. grazie mille
comunque, se ho capito bene allora per lipschitzianità globale si intende la definizione di funzione lipshitz, e a questo si applica la derivata limitiata.
invece se una funzione è continua e lo è anche la sua derivata, considerando un insieme, compatto (giusto?), allora la funzione è localmente lipschitz per forza di cose.
spero di aver capito bene stavolta. ti ringrazio per la disponibilità. grazie mille
Dire che una proprietà vale localmente significa che essa è soddisfatta intorno ad ogni punto di un insieme.
Ad esempio, dire che \(f:X\to \mathbb{R}\) è localmente lipschitziana in \(X\) significa dire che:
\[
\forall x_0\in X,\ \exists I=I(x_0)\subseteq X,\ \exists C=C(x_0,I)\geq 0:\quad \forall x,y\in I(x_0),\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; ;
\]
mentre dire che \(f\) è (globalmente) lipschitziana in \(X\) equivale a richiedere che:
\[
\exists C=C(X)\geq 0:\quad \forall x,y\in X,\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; .
\]
Noterai anche da solo la differenza: infatti, nel caso locale, la costante di Lipschitz dipende dal punto \(x_0\) intorno al quale lavori e dall'intorno \(I(x_0)\) in cui scegli di lavorare, mentre, nel caso globale, la costante di Lipschitz è unica per tutto l'insieme \(X\) e ciò importa che puoi usare la stessa costante intorno ad ogni punto \(x_0\in X\).
***
Ad esempio, considera la funzione \(f:]-1,1[\ni x\mapsto 1/(1-x^2)\in \mathbb{R}\).
Chiaramente \(f\in C^\infty(]-1,1[)\), quindi comunque si fissi un \(x_0\in ]-1,1[\), la derivata prima \(f^\prime\) è continua in \(x_0\) e, dunque, è limitata in ogni intorno compatto di \(x_0\) contenuto in \(]-1,1[\).
Scelto \(x_0\in ]-1,1[\), scegliamo come \(I(x_0)\) l'intorno simmetrico \([x_0-r,x_0+r]\) con:
\[
r<\frac{1}{2}\ \min \{ x_0+1, 1-x_0\}\; :
\]
si vede che \(I(x_0)\subset ]-1,1[\) e che \(|f^\prime|\) prende massimo in uno degli estremi di \(I(x_0)\); detto \(M(x_0, r)\) il massimo di \(|f^\prime|\) in \(I(x_0)\), poniamo \(C(x_0,I):=M(x_0,r)\) e notiamo che, per Lagrange, si ha:
\[
\forall x,y\in I(x_0),\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; .
\]
Quindi \(f\) è localmente Lipschitziana in \(]-1,1[\).
Proviamo ora a vedere se \(f\) è globalmente lipschitziana in \(]-1,1[\). Per fare ciò, cominciamo a notare che:
\[
|f(x)-f(y)| = \frac{1}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x^2-y^2|= \frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x-y|\; ,
\]
quindi \(f\) soddisfa la condizione di Lipschitz in \(]-1,1[\) se e solo se esiste una costante \(C\geq 0\) tale che:
\[
\frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x-y||\leq C\ |x-y|
\]
per tutti i \(x,y\in ]-1,1[\), e ciò accade solo se:
\[
\frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\leq C\; .
\]
L'ultima disuguaglianza equivale a dire che la funzione che compare al primo membro è limitata dall'alto, cioè che:
\[
\sup_{x,y\in ]-1,1[,\ x\neq y} \frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|} <+\infty\; .
\]
Ma ciò è assurdo: infatti, fissato \(y=0\) si ha:
\[
\sup_{x\in ]-1,1[,\ x\neq 0} \frac{|x|}{|1-x^2|} = +\infty
\]
perché prendendo \(x\) molto vicino a \(\pm 1\) quel rapporto esplode.
Ne viene che la \(f\) non può soddisfare la condizione di Lipschitz globale in \(]-1,1[\) e dunque non è lipschitziana in \(]-1,1[\) (pur essendo localmente lipschitziana nello stesso insieme).
Ad esempio, dire che \(f:X\to \mathbb{R}\) è localmente lipschitziana in \(X\) significa dire che:
\[
\forall x_0\in X,\ \exists I=I(x_0)\subseteq X,\ \exists C=C(x_0,I)\geq 0:\quad \forall x,y\in I(x_0),\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; ;
\]
mentre dire che \(f\) è (globalmente) lipschitziana in \(X\) equivale a richiedere che:
\[
\exists C=C(X)\geq 0:\quad \forall x,y\in X,\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; .
\]
Noterai anche da solo la differenza: infatti, nel caso locale, la costante di Lipschitz dipende dal punto \(x_0\) intorno al quale lavori e dall'intorno \(I(x_0)\) in cui scegli di lavorare, mentre, nel caso globale, la costante di Lipschitz è unica per tutto l'insieme \(X\) e ciò importa che puoi usare la stessa costante intorno ad ogni punto \(x_0\in X\).
***
Ad esempio, considera la funzione \(f:]-1,1[\ni x\mapsto 1/(1-x^2)\in \mathbb{R}\).
Chiaramente \(f\in C^\infty(]-1,1[)\), quindi comunque si fissi un \(x_0\in ]-1,1[\), la derivata prima \(f^\prime\) è continua in \(x_0\) e, dunque, è limitata in ogni intorno compatto di \(x_0\) contenuto in \(]-1,1[\).
Scelto \(x_0\in ]-1,1[\), scegliamo come \(I(x_0)\) l'intorno simmetrico \([x_0-r,x_0+r]\) con:
\[
r<\frac{1}{2}\ \min \{ x_0+1, 1-x_0\}\; :
\]
si vede che \(I(x_0)\subset ]-1,1[\) e che \(|f^\prime|\) prende massimo in uno degli estremi di \(I(x_0)\); detto \(M(x_0, r)\) il massimo di \(|f^\prime|\) in \(I(x_0)\), poniamo \(C(x_0,I):=M(x_0,r)\) e notiamo che, per Lagrange, si ha:
\[
\forall x,y\in I(x_0),\ |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|\; .
\]
Quindi \(f\) è localmente Lipschitziana in \(]-1,1[\).
Proviamo ora a vedere se \(f\) è globalmente lipschitziana in \(]-1,1[\). Per fare ciò, cominciamo a notare che:
\[
|f(x)-f(y)| = \frac{1}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x^2-y^2|= \frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x-y|\; ,
\]
quindi \(f\) soddisfa la condizione di Lipschitz in \(]-1,1[\) se e solo se esiste una costante \(C\geq 0\) tale che:
\[
\frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\ |x-y||\leq C\ |x-y|
\]
per tutti i \(x,y\in ]-1,1[\), e ciò accade solo se:
\[
\frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|}\leq C\; .
\]
L'ultima disuguaglianza equivale a dire che la funzione che compare al primo membro è limitata dall'alto, cioè che:
\[
\sup_{x,y\in ]-1,1[,\ x\neq y} \frac{|x+y|}{|1-x^2|\ |1-y^2|} <+\infty\; .
\]
Ma ciò è assurdo: infatti, fissato \(y=0\) si ha:
\[
\sup_{x\in ]-1,1[,\ x\neq 0} \frac{|x|}{|1-x^2|} = +\infty
\]
perché prendendo \(x\) molto vicino a \(\pm 1\) quel rapporto esplode.
Ne viene che la \(f\) non può soddisfare la condizione di Lipschitz globale in \(]-1,1[\) e dunque non è lipschitziana in \(]-1,1[\) (pur essendo localmente lipschitziana nello stesso insieme).
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