Problema di Cauchy con sostituzione
Buonasera, ho quasi completato un esercizio all'apparenza semplice ma che non riesco a terminare. Sono arrivato alla conclusione e una risposta mi viene sbagliata.
Sia [tex]\varphi : I \to \mathbb{R}[/tex] la soluzione massimale del problema di Cauchy [tex]\begin{cases} (1+t^2)x'' + 2t x' = \frac{2}{t^3} \\ x(1) = 1 \\ \lim_{t\ \to \ +\infty} x(t)=1 \end{cases}[/tex]
dire se:
Sia [tex]\varphi : I \to \mathbb{R}[/tex] la soluzione massimale del problema di Cauchy [tex]\begin{cases} (1+t^2)x'' + 2t x' = \frac{2}{t^3} \\ x(1) = 1 \\ \lim_{t\ \to \ +\infty} x(t)=1 \end{cases}[/tex]
dire se:
1) [tex]\lim_{t\ \to \ 0^+} \varphi(t)=+\infty[/tex] (vera)
2) [tex]\lim_{t\ \to\ -\infty} \varphi(t)=-3[/tex] (falsa)
[/list:u:3mtw4xbw]
Innanzitutto ho diviso per [tex](1+t^2)[/tex] ottenendo [tex]x'' + \frac{2t}{1+t^2} x' = \frac{2}{t^3 (1+t^2)}[/tex].
Poi ho sostituito [tex]x'(t) = v(t)[/tex], quindi [tex]x''(t) = v'(t)[/tex], ottenendo [tex]v' + \frac{2t}{1+t^2} v = \frac{2}{t^3 (1+t^2)}[/tex].
Poi ho usato la formula risolutiva [tex]v(t) = e^{-A(t)} \left[c_1 + \int{\frac{2t}{1+t^2} e^{A(t)} dt} \right][/tex] con [tex]A(t) = \int{\frac{2}{t^3 (1+t^2)} dt}[/tex].
Senza riportare i calcoli, l'integrale risulta [tex]\frac{1}{1+t^2} \left[c_1 - \frac{1}{t^2} \right][/tex]
Poi, non potendo ancora applicare la condizione iniziale, ho integrato [tex]v(t)[/tex] per ottenere [tex]x(t)[/tex]. A me viene così:
[tex]\int{v(t) dt} = \int{\frac{1}{1+t^2} \left[c_1 - \frac{1}{t^2}\right] dt} =[/tex] (usando l'espansione in fratti semplici) [tex]= \frac{1}{t} + (c_1 + 1)\arctan{t} + c_2[/tex]
Ora, a questo punto applicando entrambe le condizioni iniziali [tex]\begin{cases} x(1) = 1 \\ \lim_{t\ \to \ +\infty} x(t)=1 \end{cases}[/tex]
ottengo [tex]\begin{cases} 1 + (c_1 + 1) \frac{\pi}{4} + c_2 = 1 \\ (c_1 + 1) \frac{\pi}{2} + c_2=1 \end{cases}[/tex], ovvero [tex]\begin{cases} (c_1 + 1) \frac{\pi}{4} + c_2 = 0 \\ (c_1 + 1) \frac{\pi}{2} + c_2=1 \end{cases}[/tex], ovvero [tex]\begin{cases} c_1 = \frac{4}{\pi} - 1 \\ c_2 = -1 \end{cases}[/tex]
Cioè [tex]\varphi(t) = \frac{1}{t} + \frac{4}{\pi}\ \arctan{t} - 1[/tex]
Quando risolvo:
1) [tex]\lim_{t\ \to \ 0^+} \varphi(t)[/tex] ottengo [tex]+\infty[/tex], giusto.
2) [tex]\lim_{t\ \to\ -\infty} \varphi(t)[/tex] ottengo [tex]0 + \frac{4}{\pi}\cdot\frac{-\pi}{2} - 1 = -3[/tex], che corrisponde con l'affermazione, ma questa risposta dovrebbe essere falsa.
Dove ho sbagliato? L'ho fatto di sera, quindi potrei aver fatto qualche errore di calcolo.
Thanks in advance.
Risposte
Ciao Polcio,
Dato che $c_1 + 1 $ è pur sempre una costante, avrei scritto più semplicemente la soluzione nella forma seguente:
$x(t) = 1/t + c_1 arctan t + c_2 $
Da $x(1) = 1 $ e $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 1 $ si ottiene il sistema seguente:
${(c_1 \pi/4 + c_2 = 0),(c_1 \pi/2 + c_2 = 1):} $
Quest'ultimo porge $c_1 = 4/\pi $ e $ c_2 = - 1 $, quindi anch'io ottengo la tua stessa soluzione:
$\varphi(t) = 1/t + 4/\pi arctan t - 1 $
Sicuro delle condizioni al contorno, in particolare $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 1 $ ?
Dato che $c_1 + 1 $ è pur sempre una costante, avrei scritto più semplicemente la soluzione nella forma seguente:
$x(t) = 1/t + c_1 arctan t + c_2 $
Da $x(1) = 1 $ e $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 1 $ si ottiene il sistema seguente:
${(c_1 \pi/4 + c_2 = 0),(c_1 \pi/2 + c_2 = 1):} $
Quest'ultimo porge $c_1 = 4/\pi $ e $ c_2 = - 1 $, quindi anch'io ottengo la tua stessa soluzione:
$\varphi(t) = 1/t + 4/\pi arctan t - 1 $
Sicuro delle condizioni al contorno, in particolare $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 1 $ ?
Grazie per la risposta!
Sì, il testo mi dà queste condizioni. Magari si tratta di un errore di battitura?
Sì, il testo mi dà queste condizioni. Magari si tratta di un errore di battitura?
"Polcio":
Grazie per la risposta!
Prego!
"Polcio":
Magari si tratta di un errore di battitura?
Può darsi, oppure la 2) è vera...
Se la funzione esplode in \(0\), essa è determinata solo su \((0, \infty)\). Su \((-\infty, 0)\) non c'è nessuna condizione che permetta di determinare la costante additiva. Quindi, ad esempio, la funzione
\[
\phi(t)=\begin{cases}
\frac1 t + \frac4 \pi \arctan(t) + 1000, & t\in (-\infty, 0),\\
\frac1 t + \frac4 \pi \arctan(t) -1, & t\in (0, \infty),
\end{cases}
\]
è perfettamente una soluzione del problema di Cauchy. La domanda a \(-\infty\) è mal posta.
\[
\phi(t)=\begin{cases}
\frac1 t + \frac4 \pi \arctan(t) + 1000, & t\in (-\infty, 0),\\
\frac1 t + \frac4 \pi \arctan(t) -1, & t\in (0, \infty),
\end{cases}
\]
è perfettamente una soluzione del problema di Cauchy. La domanda a \(-\infty\) è mal posta.
Innanzitutto, quello assegnato non è un problema di Cauchy.
Poi, la $phi$ non può essere in nessun caso definita oltre $0$, quindi la 2 è falsa in maniera immediata.
Per la 1 bisogna fare qualche calcolo, ma non serve farli complicati come hai scritto.
Infatti, si vede che la EDO si riscrive:
$("d")/("d" t)[(1+t^2) x^\prime (t)] = ("d")/("d" t)[-1/t^2]$
sicché:
$(1+t^2) x^\prime (t) = C - 1/t^2$.
Da ciò, ottieni $x(t)$ risolvendo un secondo problema di ricerca di primitiva, i.e.:
$x^\prime (t) = C/(1+t^2) - 1/(t^2(1+t^2))$,
il quale fornisce:
$x(t) = C arctan t + 1/t + K$
(osserva che la $C$ qui non è la stessa di sopra, ma ingloba anche una costante che viene fuori dall'integrazione di un fratto semplice).
Ne viene che il problema con condizioni miste:
$\{(x(1) = 1), (lim_(t -> +oo) x(t) = 1) :}$
ha soluzione data da:
$phi (t) = 4/pi arctan t + 1/t - 1$
la quale diverge positivamente in $0^+$.
***
Inoltre... può essere utile vedere cosa accade se si trasforma il problema con condizioni miste in un problema al contorno su un intervallo limitato mediante un cambiamento di variabile.
Proviamo a fare nella EDO il cambiamento di variabile $s=1/t <=> t=1/s$.
Abbiamo:
$("d")/("d"t) = ("d" s)/("d" t) * ("d")/("d" s) = 1/(("d" t)/("d"s)) * ("d")/("d" s) = - s^2 ("d")/("d" s)$
$("d"^2)/("d" t^2) = - s^2 ("d")/("d" s) [- s^2 ("d")/("d" s)] = s^4 ("d"^2)/("d" s^2) + 2s^3 ("d")/("d" s)$
quindi la EDO si riscrive (uso i puntini per denotare derivate rispetto alla nuova variabile $s$ e chiamo $x(s)$ la funzione composta da $x(t)$ e dal cambiamento di variabile $t=1/s$):
$(1+1/s^2) (s^4 ddot(x)(s) + 2 s^3 dot(x)(s)) - 2/s s^2 dot(x)(s) = 2s^3$
ossia:
$s^2 (s^2 + 1) ddot(x) (s) +2s^3 dot(x)(s) = 2s^3$;
visto che $s!= 0$, possiamo dividere per $s^2$ ed ottenere:
$(1+s^2) ddot(x)(s) + 2 s dot(x)(s) = 2 s$.
Usando lo stesso cambiamento di variabile le condizioni si trasformano in:
$\{(x(1) = 1), (x(0) = 1) :}$,
sicché abbiamo un classico problema al contorno sull'intervallo $[0,1]$.
Visto che la EDO si riscrive:
$("d")/("d" s)[(1+s^2) dot(x) (s)] = ("d")/("d" s) [s^2]$
abbiamo:
$(1+s^2) dot(x) (s) = s^2 + C$,
che è un problema di ricerca di primitive ed è risolto da:
$x(s) = s + C arctan s + K$.
Imponendo le condizioni al contorno troviamo la soluzione:
$phi (s) = s - 4/pi arctan s + 1$.
Facendo la sostituzione a ritroso e tenendo presente che $arctan (1/t) = pi/2 - arctan t$ per $t>0$, si ottiene di nuovo il risultato già trovato in maniera diretta.
Poi, la $phi$ non può essere in nessun caso definita oltre $0$, quindi la 2 è falsa in maniera immediata.
Per la 1 bisogna fare qualche calcolo, ma non serve farli complicati come hai scritto.
Infatti, si vede che la EDO si riscrive:
$("d")/("d" t)[(1+t^2) x^\prime (t)] = ("d")/("d" t)[-1/t^2]$
sicché:
$(1+t^2) x^\prime (t) = C - 1/t^2$.
Da ciò, ottieni $x(t)$ risolvendo un secondo problema di ricerca di primitiva, i.e.:
$x^\prime (t) = C/(1+t^2) - 1/(t^2(1+t^2))$,
il quale fornisce:
$x(t) = C arctan t + 1/t + K$
(osserva che la $C$ qui non è la stessa di sopra, ma ingloba anche una costante che viene fuori dall'integrazione di un fratto semplice).
Ne viene che il problema con condizioni miste:
$\{(x(1) = 1), (lim_(t -> +oo) x(t) = 1) :}$
ha soluzione data da:
$phi (t) = 4/pi arctan t + 1/t - 1$
la quale diverge positivamente in $0^+$.
***
Inoltre... può essere utile vedere cosa accade se si trasforma il problema con condizioni miste in un problema al contorno su un intervallo limitato mediante un cambiamento di variabile.
Proviamo a fare nella EDO il cambiamento di variabile $s=1/t <=> t=1/s$.
Abbiamo:
$("d")/("d"t) = ("d" s)/("d" t) * ("d")/("d" s) = 1/(("d" t)/("d"s)) * ("d")/("d" s) = - s^2 ("d")/("d" s)$
$("d"^2)/("d" t^2) = - s^2 ("d")/("d" s) [- s^2 ("d")/("d" s)] = s^4 ("d"^2)/("d" s^2) + 2s^3 ("d")/("d" s)$
quindi la EDO si riscrive (uso i puntini per denotare derivate rispetto alla nuova variabile $s$ e chiamo $x(s)$ la funzione composta da $x(t)$ e dal cambiamento di variabile $t=1/s$):
$(1+1/s^2) (s^4 ddot(x)(s) + 2 s^3 dot(x)(s)) - 2/s s^2 dot(x)(s) = 2s^3$
ossia:
$s^2 (s^2 + 1) ddot(x) (s) +2s^3 dot(x)(s) = 2s^3$;
visto che $s!= 0$, possiamo dividere per $s^2$ ed ottenere:
$(1+s^2) ddot(x)(s) + 2 s dot(x)(s) = 2 s$.
Usando lo stesso cambiamento di variabile le condizioni si trasformano in:
$\{(x(1) = 1), (x(0) = 1) :}$,
sicché abbiamo un classico problema al contorno sull'intervallo $[0,1]$.
Visto che la EDO si riscrive:
$("d")/("d" s)[(1+s^2) dot(x) (s)] = ("d")/("d" s) [s^2]$
abbiamo:
$(1+s^2) dot(x) (s) = s^2 + C$,
che è un problema di ricerca di primitive ed è risolto da:
$x(s) = s + C arctan s + K$.
Imponendo le condizioni al contorno troviamo la soluzione:
$phi (s) = s - 4/pi arctan s + 1$.
Facendo la sostituzione a ritroso e tenendo presente che $arctan (1/t) = pi/2 - arctan t$ per $t>0$, si ottiene di nuovo il risultato già trovato in maniera diretta.
Grazie dissonance e a gugo per le risposte.
Hai ragione gugo, mi ero sbagliato a trascrivere e per abitudine ho scritto "problema di Cauchy", ma giustamente il testo lo chiamava solo "problema".
Siccome sto facendo esercizi su equazioni differenziali ma non ne sono assolutamente un esperto, ho solo una domanda riguardante l'esplosione. Siccome [tex]t^3[/tex] è al denominatore, la soluzione esplode se [tex]t=0[/tex]. Ma come faccio a capire velocemente che l'intervallo di definizione [tex]I[/tex] è solo [tex]]0, +\infty[[/tex] e non può assolutamente essere [tex]]-\infty, 0[[/tex]?
Non mi è chiara la frase di dissonance "Su [tex](−\infty,0)[/tex] non c'è nessuna condizione che permetta di eliminare la costante additiva."
Grazie mille.
Hai ragione gugo, mi ero sbagliato a trascrivere e per abitudine ho scritto "problema di Cauchy", ma giustamente il testo lo chiamava solo "problema".
Siccome sto facendo esercizi su equazioni differenziali ma non ne sono assolutamente un esperto, ho solo una domanda riguardante l'esplosione. Siccome [tex]t^3[/tex] è al denominatore, la soluzione esplode se [tex]t=0[/tex]. Ma come faccio a capire velocemente che l'intervallo di definizione [tex]I[/tex] è solo [tex]]0, +\infty[[/tex] e non può assolutamente essere [tex]]-\infty, 0[[/tex]?
Non mi è chiara la frase di dissonance "Su [tex](−\infty,0)[/tex] non c'è nessuna condizione che permetta di eliminare la costante additiva."
Grazie mille.
"Polcio":
Grazie dissonance e a gugo per le risposte.
Prego.
"Polcio":
Siccome sto facendo esercizi su equazioni differenziali ma non ne sono assolutamente un esperto, ho solo una domanda riguardante l'esplosione. Siccome [tex]t^3[/tex] è al denominatore, la soluzione esplode se [tex]t=0[/tex]. Ma come faccio a capire velocemente che l'intervallo di definizione [tex]I[/tex] è solo [tex]]0, +\infty[[/tex] e non può assolutamente essere [tex]]-\infty, 0[[/tex]?
L'esplosione in $0$ non c'entra nulla con la possibilità di definire la soluzione in $]-oo,0]$...
Che cos'è la soluzione di una EDO?
O, meglio, quali sono le incognite in una EDO?
Prego, è un piacere, spero di essere di qualche aiuto. Gugo ha scritto proprio un bel post, mi piace l'idea di cambiare variabile per riportare il problema a un intervallo compatto.
L'ho cambiata un po', adesso dice "non c'è nessuna condizione che permetta di determinare la costante additiva". Fermo restando che consiglio di riflettere su quanto dice Gugo nell'ultimo post, faccio qualche considerazione più alla leggera. Tu hai trovato una famiglia di soluzioni dell'equazione, dipendente da una costante additiva:
\[
\frac{1}{t} + c.\]
La soluzione generale che tu hai trovato è più complicata, ma concentriamoci su questo caso più semplice, per fissare le idee. È evidente che queste funzioni \(x_c\) non sono definite in tutti i punti, infatti \(x(0)\) non è definita. Quindi, la funzione è definita su due intervalli disgiunti, e bisogna considerare una costante additiva per ognuno degli intervalli:
\[
x_{c_1, c_2}(t)=\begin{cases} \frac1 t + c_1, & t>0, \\
\frac{1}{t} + c_2, & t<0. \end{cases}\]
Tu hai implicitamente assunto che \(c_1=c_2\), ma perché hai fatto questa scelta? Cosa ha di particolare questa scelta di costanti? Anche prendendo \(c_1\) diverso da \(c_2\) si ottiene una funzione che verifica l'equazione differenziale. E scegliere \(c_1=c_2\) non rende \(x_{c_1, c_2}\) prolungabile per continuità in \(0\), nessuna scelta delle costanti ha questo privilegio.
Quando parlavo di "eliminare la costante additiva", mi riferivo al fatto che le condizioni iniziali, o le condizioni al bordo, servono proprio a scegliere una costante additiva, in modo da passare dalla famiglia di soluzioni \(x_{c_1, c_2}\) ad una ben precisa soluzione, l'unica che verifichi le condizioni date. Ma nel problema originale, non c'è nessuna condizione su \((-\infty, 0)\), e quindi non c'è nessuna maniera per scegliere la costante \(c_2\).
Spero ora sia più chiaro.
"Polcio":
Non mi è chiara la frase di dissonance "Su [tex](−\infty,0)[/tex] non c'è nessuna condizione che permetta di eliminare la costante additiva."
L'ho cambiata un po', adesso dice "non c'è nessuna condizione che permetta di determinare la costante additiva". Fermo restando che consiglio di riflettere su quanto dice Gugo nell'ultimo post, faccio qualche considerazione più alla leggera. Tu hai trovato una famiglia di soluzioni dell'equazione, dipendente da una costante additiva:
\[
\frac{1}{t} + c.\]
La soluzione generale che tu hai trovato è più complicata, ma concentriamoci su questo caso più semplice, per fissare le idee. È evidente che queste funzioni \(x_c\) non sono definite in tutti i punti, infatti \(x(0)\) non è definita. Quindi, la funzione è definita su due intervalli disgiunti, e bisogna considerare una costante additiva per ognuno degli intervalli:
\[
x_{c_1, c_2}(t)=\begin{cases} \frac1 t + c_1, & t>0, \\
\frac{1}{t} + c_2, & t<0. \end{cases}\]
Tu hai implicitamente assunto che \(c_1=c_2\), ma perché hai fatto questa scelta? Cosa ha di particolare questa scelta di costanti? Anche prendendo \(c_1\) diverso da \(c_2\) si ottiene una funzione che verifica l'equazione differenziale. E scegliere \(c_1=c_2\) non rende \(x_{c_1, c_2}\) prolungabile per continuità in \(0\), nessuna scelta delle costanti ha questo privilegio.
Quando parlavo di "eliminare la costante additiva", mi riferivo al fatto che le condizioni iniziali, o le condizioni al bordo, servono proprio a scegliere una costante additiva, in modo da passare dalla famiglia di soluzioni \(x_{c_1, c_2}\) ad una ben precisa soluzione, l'unica che verifichi le condizioni date. Ma nel problema originale, non c'è nessuna condizione su \((-\infty, 0)\), e quindi non c'è nessuna maniera per scegliere la costante \(c_2\).
Spero ora sia più chiaro.
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