Problema di Cauchy con modulo

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, ho il seguente problema di Cauchy da risolvere: $y''=|3y'+5y^d|$ con y(0)=-2 e y'(0)=1
Per d=1 risolvere il problema di Cauchy in un intorno di 0.
Provare che per d>0 la soluzione in un intervallo (a,b) con a<0 Andiamo per gradi e risolviamo prima il quesito 1). Inserendo la condizione iniziale ho notato che il modulo è negativo. A me viene spontaneo dire che, dovendolo studiare in un intorno di 0, per il teorema della permanenza del segno, il modulo è negativo perciò l'equazione da risolvere è $y''=-(3y'+5y)$. È corretto?

[dissonance]

È corretto, però adesso devi risolvere il problema portandoti appresso la condizione \(3y'+5y<0\). Questa condizione sarà verificata in un intorno di \(0\), come hai dimostrato, e la soluzione che trovi non sarà valida fuori da questo intorno.

[ludovica.sarandrea]

Ok, perfetto.
Mentre per la seconda domanda non ho idea di come procedere. So che sicuramente devo mostrare che y'(t)>0 pero' non so come fare, suggerimenti?