Problema di cauchy con min

[rori2]

ciao ragazzi ho bisogna che qualcuno mi chiarisca questo problema di cauchy

[tex]y"+y'=min[/tex]{[tex]e^{-x},e^{-2x}[/tex]}

e le condizioni date sono
[tex]y(0)=0[/tex] e [tex]y'(0)=1/2[/tex]

la soluzione è
[tex]y(x) =[/tex]

[tex]3/2-(3/2)e^{-x} -xe^{-x}[/tex] per [tex]x<0[/tex]

[tex]1-(3/2)e^{-x} +(1/2)e^{-2x}[/tex] per [tex]x\geq0[/tex]

ho svolto intanto l'omogenea associata e mi viene

[tex]y(x)=C1e^{-x} +C2[/tex]

il mio problema è come va svolto con [tex]min[/tex] { [tex]e^{-x},e^{-2x}[/tex] }
fino a che è un problema di cauchy solito ok, ma con questo non so da dove partire..dato che le soluzioni sono due perchè sono date al variare di x suppongo che forse devo calcolare separatamente i due valori dati e calcolare le soluzioni relative agli esponenziali ma non ne sono per niente sicura..qualcuno sa gentilmente spiegarmi come va svolto?

vi ringrazio molto

[dissonance]

[xdom="dissonance"]Di nuovo titoli in maiuscolo? Mi sembra che ti sia stato già detto più di una volta di non usarne. Per favore, usa al più presto il pulsante MODIFICA (in alto a destra) per eliminare il maiuscolo.

Grazie[/xdom]

[dissonance]

"rori": agli esponenziali ma non ne sono per niente sicura..qualcuno sa gentilmente spiegarmi come va svolto?

vi ringrazio molto

Guarda, non ti scervellare troppo. Calcola esplicitamente quel minimo: otterrai una funzione definita per casi di tipo

\[\begin{cases}\ldots & x \ge 0 \\ \ldots & x <0\end{cases}.\]

Ti basterà allora risolvere un problema di Cauchy per \(x\ge 0\) e un altro per \(x<0\). Infine dovrai raccordare le soluzioni in modo che siano di classe \(C^1\). Sembra molto più terribile di quanto non sia in realtà.

[rori2]

ti ringrazio provo subito

[gugo82]

Dato che, evidentemente:
\[
\min \{ e^{-x},\ e^{-2x}\} = \begin{cases} e^{-x} &\text{, se } x\leq0 \\ e^{-2x} &\text{, se } x\geq 0\end{cases}
\]
vedi figura che segue (i tratti spessi sono il grafico della funzione precedente):
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("exp(-2*x)",-2,0); strokewidth=3; plot("exp(-2*x)",0,3);
stroke="red"; plot("exp(-x)",-2,0); strokewidth=1; plot("exp(-x)",0,3);[/asvg]
si tratta di risolvere i due problemi di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x)+y^\prime (x)= e^{-x} &\text{, se } x<0\\
y(0)=0\\
y^\prime (0) =1/2
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x)+y^\prime (x)= e^{-2x} &\text{, se } x>0\\
y(0)=0\\
y^\prime (0) =1/2\; .
\end{cases}
\]

[rori2]

Grazie mille mille utilissimo