Problema di Cauchy con le trasformate di Laplace

[Mercurial1]

ciao ragazzi sto trovando molta difficolta con questo tipo di esercizi,perche ce un passaggio che non mi è chiaro e che ricorre in tutti gli esercizi.
vi posto uno di questi cosi che possiate darmi poi una spiegazione piu generale.

$ 1/((s-1/2)^2 +1)^2$ diventa senza alcun passaggio quest'altra $ 1/2(1/((s-1/2)^2 +1)+ d/(ds) (s-1/2)/((s-1/2)^2 +1))

qualcuno potrebbe dirmi che formula si usa?
o meglio ancora farmi questa trasformazione nei passaggi...perche ormai in tutti gli esercizi mi trovo in un punto in cui nn so piu che fare...
grazie ragazzi

[Mercurial1]

ragazzi nessuno sa aiutarmi?????????

[misanino]

"Mercurial":ciao ragazzi sto trovando molta difficolta con questo tipo di esercizi,perche ce un passaggio che non mi è chiaro e che ricorre in tutti gli esercizi.
vi posto uno di questi cosi che possiate darmi poi una spiegazione piu generale.

$ 1/((s-1/2)^2 +1)^2$ diventa senza alcun passaggio quest'altra $ 1/2(1/((s-1/2)^2 +1)+ d/(ds) (s-1/2)/((s-1/2)^2 +1))

qualcuno potrebbe dirmi che formula si usa?
o meglio ancora farmi questa trasformazione nei passaggi...perche ormai in tutti gli esercizi mi trovo in un punto in cui nn so piu che fare...
grazie ragazzi

Il passaggio non è niente di particolare.
Si tratta semplicemente di integrare $1/((s-1/2)^2 +1)^2$ in ds.
Lo vedi più facilmente se fai $1/2(1/((s-1/2)^2 +1)+ d/(ds) (s-1/2)/((s-1/2)^2 +1))$ cioè se fai la derivata che c'è scritta.
Vedrai che ritroverai $1/((s-1/2)^2 +1)^2$ .
Prova.
Poi se non ti esce ti do una mano.
Ciao

[Mercurial1]

in verita sul libro dice che usa la decomposizione di hermite,ma nn trovo da nessuna parte la formula in cui usa i residui.....se qualcuno puo postarla gli sarei grato......

[misanino]

"Mercurial":in verita sul libro dice che usa la decomposizione di hermite,ma nn trovo da nessuna parte la formula in cui usa i residui.....se qualcuno puo postarla gli sarei grato......

La decomposizione di Hermite non è altro che il modo di integrare le funzioni razionali fratte, che è proprio quello che hai.
La tua funzione razionale fratta è infatti $1/((s-1/2)^2+1)^2$
Ti ricordi come si fanno ad integrare le funzioni razionali fratte (usi i coefficienti A,B... da trovare....)?
Se non te lo ricordi è troppo lungo qui da spiegare.
Cerca in internet "integrali di funzioni razionali fratte" e sicuramente trovi tutto (devi avere la pazienza di leggerlo però).
Altrimenti, dato che come hai detto tu quel passaggio lo fa sempre, semplicemente, come ti ho detto prima, sviluppa la derivata del secondo termine (ricordando come si fa la derivata di una funzione composta), fai il denominatore comune, semplifica e ti ritrovi proprio l'espressione di partenza.

[Mercurial1]

si certo che lo ricordo,ma ci dovrebbe essere un modo piu semplice che sfrutta i residui,e che abbrevia enormemente i conti....dovrebbe essere il modo in cui si trattano i poli coniugati doppi