Problema di Cauchy con funzione incognita in modulo

[akiross1]

Ciao a tutti,
sto sbattendo la testa su un problema di Cauchy che non riesco ad affrontare. Ecco l'esercizio:

stabilire se, in base alla teoria, il seguente problema di Cauchy ammette un'unica soluzione locale
$ { (y'=2x|y|),(y(0)=a):} $
per ogni valore di $a$ reale. Stabilire quindi l'insieme di definizione di tale soluzione. Risolvere infine il problema nel caso $a=-1$.

Allora: normalmente procederei a verificare la limitatezza della derivata per stabilire se la funzione $f(x,y)=2x|y|$ soddisfa o meno la lipschitzianita' e quindi vale il teorema di esistenza ed unicita' locale. Ma la y in modulo mi spiazza, infatti in $y=0$ non e' derivabile. Questo mi fa sorgere dubbi:
innanzi tutto: e' lecito usare la derivata in questo caso?
dato che non e' derivabile in quel punto, significa che in quel punto il teorema non vale? o significa che in quel punto posso avere diverse soluzioni o non averne proprio?

La mia teoria e' purtroppo un po' carente in questo caso e, sara' forse per l'ora tarda, ma non riesco davvero a capire.

Ho provato comunque ad applicare la definizione di lipschitzianita', e mi pare che la funzione sia lipschitziana rispetto a y uniformemente rispetto a x, quindi il teorema di esistenza e unicita' locale dovrebbe valere - sempre se non ho sbagliato.

Poi, per trovare le due soluzioni, devo studiare due casi distinti con $y\geq 0$ e $y<0$ e risolverle come due normali a variabili separabili?
Io ho fatto in quel modo, il modulo sparisce nell'integrazione perche' la $x$ viene elevata al quadrato e quindi in entrambi i casi le soluzioni mi escono uguali e dipendenti dal parametro $a$.

Grazie mille in anticipo
~Aki

[enr87]

mmm.. così a prima vista direi una cosa: il teorema di esistenza e unicità dice che se f è localmente lipschitz, allora la soluzione esiste ed è unica in un intervallo I (intorno di $t_0$).

un teorema ti dice che se f è C1, allora è localmente lipschitz. il problema è che f non è C1 perchè la derivata di 2x|y| fatta rispetto ad y non esiste in y = 0, come appunto hai notato. l'unica è verificare la lipschitzianità locale credo, ovvero che esiste L tale che

$ |f(t,y_2) - f(t,y_1)| <= L|y_2 - y_1| \ forall (t,y) in K$ con K compatto contenuto nel dominio di f

$ |x|y_2| - x|y_1|| <= L|y_2 - y_1|

se sei in un compatto qualsiasi, allora basta imporre $L = Sup_K |x|$, infatti in questo modo hai:

$|y_2| - |y_1| <= |y_2 - y_1| => |x|y_2| - x|y_1|| <= |x|y_2-y_1|| <= L|y_2 - y_1|

da cui si dovrebbe dedurre che esiste un intervallo $I subset RR$ tale che la soluzione esiste ed è ivi unica.
comunque è meglio se aspetti per conferme, perchè sono argomenti coi quali non ho un gran rapporto.

[Rigel1]

Sì, l'argomento è corretto, basta la locale Lipschitzianità in $y$ uniforme rispetto a $x$.