Problema di Cauchy con esponenziale

[Polcio]

Buonasera, ho risolto un quesito su un PDC ma non sono sicuro della seconda risposta.

Si consideri il P.D.C. [tex]\begin{cases} x' = e^{-x^2} + t^4 \\ x(0) = 0 \end{cases}[/tex].

1) Questo problema di Cauchy ammette una soluzione non negativa.
2) Questo problema di Cauchy ammette un'unica soluzione definita su [tex]\mathbb{R}[/tex].
[/list:u:37h6w2eq]

Per quanto riguarda il primo punto:


[*:37h6w2eq]Ho controllato le soluzioni stazionarie e non ce ne sono, perchè [tex]e^{-x^2} + t^4 \neq 0 \quad \forall x, t[/tex].[/*:m:37h6w2eq]
[*:37h6w2eq]Poi ho controllato la positività di [tex]x'(t)[/tex], cioè [tex]e^{-x^2} + t^4 \geq 0[/tex], cioè sempre. Quindi la soluzione è sempre crescente (in realtà strettamente crescente). [/*:m:37h6w2eq][/list:u:37h6w2eq]
Quindi immediatamente ho concluso che questo problema di Cauchy non ammette soluzione non negativa, in quanto la condizione iniziale è [tex]x(0)=0[/tex]. Dunque la soluzione cresce sempre e passa per l'origine: per [tex]t < 0[/tex] essa deve per forza assumere valori negativi.

Per quanto riguarda invece il secondo punto ho provato ad applicare il teorema di Cauchy globale, controllando che:


[*:37h6w2eq] [tex]f(t,x) \in C^0[/tex]? Sì, in realtà è [tex]C^\infty[/tex].[/*:m:37h6w2eq]
[*:37h6w2eq] [tex]f(t,x)[/tex] localmente lipschitziana? Sì in quanto la derivata rispetto a [tex]x[/tex] è limitata, essendo [tex]\left|\frac{df}{dx}\right| = \left|-2x e^{-x^2}\right|[/tex].[/*:m:37h6w2eq]
[*:37h6w2eq] [tex]f(t,x)[/tex] sublineare? Qui ho un dubbio. È sublineare o no? Se applico la definizione, devo controllare che sia sublineare rispetto a [tex]x[/tex]. Quindi [tex]|f(t,x))| \leq A|x| + B[/tex], cioè [tex]|f(t,x)| = \left|e^{-x^2} + t^4\right| \leq \left|e^{-x^2}\right| + \left|t^4\right| \leq 1 + t^4[/tex]. Controllare la sublinearità in [tex]x[/tex] vuol dire fissare [tex]t = t_0[/tex] e controllare la sublinearità di [tex]f(t_0, x)\ \ \forall t_0 \in \mathbb{R}[/tex]? Perché in quel caso sarebbe effettivamente sublineare. [/*:m:37h6w2eq][/list:u:37h6w2eq]
In ogni caso, ho scritto che esiste un'unica soluzione definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] perché [tex]x'[/tex] è strettamente crescente su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e non ci sono asintoti verticali, ma questa risposta non mi convince affatto e mi sembra campata per aria.

Preferirei dimostrarlo mediante il teorema di Cauchy globale, ma ho questo dubbio sulla sublinearità.

Thanks in advance.

[dissonance]

Bisogna andare a rivedere il teorema di esistenza e unicità globale, e vedere se è possibile che le costanti \(A\) e \(B\) nella condizione di sublinearità che hai citato possono dipendere da \(t\). Penso proprio di no. Non puoi applicare il teorema come una “black box”.

Però qui non c’è da applicare teoremi, si può ragionare un po’ ad hoc. Pensiamo a cosa succede quando \(t\to \infty\). Per \(t\) molto grande, il termine \(t^4\) è estremamente più grande di \(e^{-x^2}\). Quindi, ci aspettiamo che per \(t\) grande la nostra soluzione si comporti come la soluzione di
\[\tag{1}
\dot y = 1+t^4, \quad y(0)=0,\]
e, in particolare, che sia globalmente definita, visto che \(y(t)\) è globalmente definita. In effetti è sufficiente dimostrare che \(x(t)\le y(t)\) per ogni \(t\ge 0\), perché l’unico modo in cui \(x\) può cessare di esistere è l’esplosione a \(+\infty\). La disuguaglianza \(x(t)\le y(t)\) è verosimile, visto che \(x\) e \(y\) partono dallo stesso punto, ma \(y\) viaggia sempre più velocemente di \(x\).

Per dimostrare formalmente la disuguaglianza puoi usare degli strumenti classici, per esempio la disuguaglianza di Grönwall, o un lemma di confronto (ovvero, esattamente l'argomento di velocità che ho scritto sopra). Il risultato finale è che la soluzione \(x\) del problema di Cauchy assegnato soddisfa
\[
x(t)\le y(t),\qquad \forall t\ge 0, \]
dove \(y\) è la soluzione di (1) con \(y(0)=0\). In particolare, \(x\) è definita per ogni \(t\ge 0\).

Nota: Non è necessario per questo problema, ma la funzione \(y\) si può esplicitare;
\[
y(t)= \frac{t^5}{5}+t.\]