Problema di cauchy con equazione differenziale di ordine 1

[Vera921]

Ho un dubbio con questo problema di cauchy:

$ { ( y'=(2+8x^2)/(1+y^2) ),( y(0)=0):} $

questa non si dovrebbe ricondurre a un equazione a variabili separabili?

[Rigel1]

Sì; qual è il problema?
\[
(1+y^2)y' = 2+8x^2.
\]

[Vera921]

Scusa potresti risolverla? prima io l'avevo scomposta come:

$ y'=(2+8x^2)1/(1+y^2) $

Però rifacendola come l'hai scritta tu comunque non mi torna il risultato, cioè y(x)=2x

[Vera921]

Scusa potresti risolverla? prima io l'avevo scomposta come:

$ y'=(2+8x^2)1/(1+y^2) $

Però rifacendola come l'hai scritta tu comunque non mi torna il risultato, cioè y(x)=2x

[Rigel1]

Separando le variabili e tenendo conto delle condizioni iniziali arrivi a
\[
y+\frac{1}{3}y^3 = 2x + \frac{1}{3} 8x^3.
\]
La funzione \(y\mapsto y+y^3/3\) è biiettiva da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\), quindi in linea di principio puoi sempre esplicitare la \(y\) da ogni espressione del tipo \( y+y^3/3 = f(x)\). Dico in linea di principio, perché per farlo in maniera esplicita hai bisogno di risolvere un'equazione di terzo grado (cosa che si può fare, ma di norma non è richiesto).
In questo caso non ce n'è bisogno, dal momento che vedi subito che
\[
y+\frac{1}{3}y^3 = (2x) + \frac{1}{3} (2x)^3,
\]
dunque \(y=2x\).