Problema di cauchy con eq. lineare non omogenea a coeff variabili

[amivaleo]

ciao a tutti,
devo risolvere il seguente problema di cauchy:
$t^2 x'' - t x' + x = 2t$
$x(1)=0$
$x'(1)=1$

mi blocco praticamente subito...
io parto dal considerare l'omogenea associata $t^2 x'' - t x' + x = 0$.
cerco una soluzione del tipo $x = t^k$ che, se messa in questa equazione, mi dà: $k(k-1) -k +1 =0 = (k-1)^2$. quindi deve essere $k=1$. cioè la soluzione omogenea è del tipo $x_{om}(t) = at$ con $a$ coefficiente da determinare.
e... poi? ^^
avevo pensato di trovare la soluzione particolare da sommare a quella appena ottenuta, imponendo che $a = a(t)$ cioè che il coefficiente $a$ sia in realtà una funzione di $t$ ("variazione delle costanti" insomma), ma giungo anche qui ad una equazione in cui mi blocco.

sapreste darmi un aiutino? anche solo qualche dritta su come procedere...

grazie in anticipo

[Quinzio]

Credo che convenga chiamare una nuova variabile $z=x/t$
da cui $z'=(x't-x)/t^2$

$x=zt$
$x'=z't+z$
$x''=z''t+2z'$

dividendo l'equazione data per $t^2, t\ne 0$

$x''-(tx'-x)/t^2=2/t$

poi

$z''t+2z'-z'=2/t$
$z''t+z'=2/t$

possiamo scrivere

$(z't)'=2/t$

$z't=2logt$

$z'=2/t logt$

$z=(log t)^2$

si ritorna a $x$

$x=t(log t)^2$

non ho il coraggio di controllare se tutto questo gioco di prestigio con le derivate è corretto...

Per una soluzione all'omogenea penso che dovresti ricalcare lo stesso procedimento... non saprei.

[amivaleo]

ho controllato io. è giusto

mannaggia ma perchè io odio così tanto le eq differenziali? :\

grazie quinzio

[amivaleo]

per l'omogenea sto pensando...
riscrivo l'equazione associata $t^2x''−tx'+x=0$, in "forma esplicita", cioè come segue:
$x''=1/tx' - 1/t^2x$

quindi pongo $x' = y$, così da ottenere il sistema:

\( \begin{cases}
x' = y \\
y' = \frac{1}{t} y - \frac{1}{t^2} x
\end{cases} \)

che si può riscrivere come un'espressione matriciale:
\(\binom{x}{y}' = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{t^2} & \frac{1}{t} \end{vmatrix} \binom{x}{y} \)
che, in forma più compatta, si può scrivere come:
$r' = A(t) r$

dove $r$ è il vettore $(x,y)^T$ e $A(t)$ è la matrice.

questa equazione è a variabili separabili e quindi la soluzione è $r = e^{\int_{t_0}^t ds A(s)} r_0$
($r_0$ è il vettore delle condizioni iniziali a $t_0 =1$: $r_0 = (x(1), y(1)) = (x(1), x'(1)) = (0,1)$)
quindi integro ogni elemento della matrice, calcolo l'esponente della matrice, moltiplico per $r_0$ e mi tengo solo la prima riga di tutto il risultato. dato che $r = (x, x')$ ma a me interessa solo $x$.

è corretto o sto vaneggiando?

[Quinzio]

Io so che a quel punto la matrice va diagonalizzata, e potrebbero venir fuori facilmente degli autovalori complessi.
Non so, è una zona un po' sconosciuta per me.

[amivaleo]

sisi, potrebbero venir fuori robacce nel diagonalizzare la matrice, però... boh, PARE corretto

ma la mia prima proposta di risoluzione dell'omogenea invece non va bene? quella che porta a $x_{om}(t) = t$...?

[Quinzio]

Per andar bene va bene, il problema è che non le trova tutte, ci possono essere altre soluzioni.

A un certo punto del mio procedimento c'era

$(z't)'=2/t$

per l'omogenea scriviamo

$(z't)'=0$

allora

$z't=c_1$

$z'=(c_1)/t$

$z=c_1\logt+c_2$

$x=c_1\ t\ \logt +c_2t$

Questa ha due parametri e per $c_1=0$ comprende anche $x=at$. Due parametri sono il massimo per una eq diff di 2°, quindi direi che è la soluzione completa dell'omogenea.

[amivaleo]

ok, mi torna.
chissà se avrei ottenuto la stessa cosa facendo quei giri assurdi con la matrice $A$...

grazie quinzio
non ho altro da chiedere su questo esercizio.