Problema di Cauchy con due variabili

[Teschio4]

Chiedo il vostro aiuto... non ho idea di come risolvere questo esercizio:
Mi verrebbe da calcolare la primitiva e poi calcolare il limite, ma avendo due variabili non so come procedere...

Detta y(x) la soluzione del problema di Cauchy \[y'=5x^2-6y\]
con y(0)=2
calcolare

Qualcuno sa aiutarmi ? Grazie

[spugna2]

Puoi scrivere in modo esplicito le soluzioni. Cerca prima una soluzione particolare...

$y=Ae^{-6x}+p(x)$, dove $p$ è un polinomio che risolve l'equazione

[Lele0012]

Questo genere di equazioni differenziali, nella forma...
$y'+a(x)y=b(x)$
dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni unicamente della variabile indipendente, può essere facilmente risolto in questo modo: consideriamo il termine:
$e^(\int a(x)dx)$
e moltiplichiamolo ad ambo i membri della nostra equazione:
$y'e^(\int a(x)dx)+a(x)ye^(\int a(x)dx)=b(x)e^(\int a(x)dx)$
E osserviamo che, al primo membro, appare proprio...
$d/dx(ye^(\int a(x)dx))=b(x)e^(\int a(x)dx)$
Perciò, integrando ambo i membri,
$y=1/(e^(\int a(x)dx))\int(b(x)e^(\int a(x)dx))$
Senza dimenticare la costante di integrazione. Applichiamo quanto visto al tuo problema:
$y'=5x^2-6y$
Perciò:
$y'+6y=5x^2$
E moltiplichiamo ambo i membri il termine $e^(\int 6dx)=e^(6x)$:
$y'e^(6x)+6e^(6x)y=5x^2e^(6x)$
Analogamente a quando detto prima, si osserva che:
$d/dx(ye^(6x))=5x^2e^(6x)$
$ye^(6x)=\int5x^2e^(6x)dx$
L'integrale a destra può essere svolto, con un po' di pazienza, per parti, e si ottiene:
$ye^(6x)=5/108e^(6x)(18x^2-6x+1)+c$
La costante $c$ può essere trovata imponendo le condizioni iniziali, cioè che $y(0)=2$:
$y(0)=2=5/108+c\Rightarrow c=211/108$
E finalmente, hai la soluzione cercata:
$y=5/108(18x^2-6x+1)+211/108e^(-6x)$
Lascio a te la risoluzione del limite

[Teschio4]

Grazie mille davvero